equações trigonométricas

solucionar a equação:
x² + 2sin(πx) = 3x + cos²(πx) - 17/4
gab.: 3/2

Boa tarde. Manipulando a equação e trocando cos²(πx) por 1 - sen²(πx):
[latex] x^2-3x+\frac{17}{4}=1-sen^2(\pi x) - 2sen(\pi x)
\mathrm{Fazendo \: \: sen(\pi x)=z}
x^2-3x+\frac{17}{4}=-z^2-2z+1 [/latex]
Veja que temos duas parábolas, uma com concavidade para cima e uma para baixo. Fazendo o gráfico das mesmas, você percebe que a única possibilidade de mesma imagem é no vértice:
[latex] y_{vx}= \frac{- \Delta}{4a}=\frac{-(9-4.1.\frac{17}{4})}{4.1} = 2
y_{vz}= \frac{-[4-4.(-1).1]}{4.(-1)}=2 [/latex]
Ou seja, a igualdade ocorre quando as duas equações possuem a imagem igual a 2. Para encontrar o x podemos utilizar uma das duas equações, na equação em z é necessário voltar a substituição de z por sen(πx), o que leva a um caminho mais longo, então utilizando a equação em x:
[latex] x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2.(1)}=\frac{3}{2} [/latex]

Logo, a única solução real é x=3/2.