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De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se forem feitos lotes de 5 DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes com 14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de 
modo a não haver sobra? 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 13 
E) 15 



Resposta -C

Números que divididos por 5 tem resto 2:
7, 12, 17, 22, ... (sempre terminam em 2 ou 7)

Números que divididos por 12 tem resto 9:
21, 33, 45, 57, 69, 71, 83, ... (sempre terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9)

O único número em comum é o 7, portanto o último algarismo do total de DVDs é 7.

Pode ser 507, 517, ..., 997

Dividido por 14, tem resto 11.
25, 39, 53, 67, 81, 95, 109, 123, 137, 151, 165...

Note que de 70 em 70 repete-se o último algarismo.

Daí podemos tentar:
500/14 = 35
Então o primeiro número divisível por 14, acima de 500 é 36*14 = 504

Como o resto é 11, o primeiro caso é 515.

Somamos 14 até terminar em 7.

529, 543, 557

No entanto, a divisão pelos outros números (5 e 12) não se aplica.

Somamos 70:

627, 697, 767, 837, 907, 977.

Um desses se aplica. É fácil perceber que todos tem resto ao se dividir por 5. Só resta saber qual tem resto 9 ao se dividir por 12.

600 é múltiplo de 12. Então são também 612, 624, 636, 648, 660, 672, 684, 696, 708, 720, 732, 744, 756, 768, 780, 792, 804, 816, 828, ... BINGO!

828 + 9 = 837

Então o número que queremos é 837.

837|31
27|3
9|3
3|3
1

3 é menor que 5. Então vamos usar 3*3 = 9

93 lotes de 9 DVDs