[Aritmética] Progressão contextualizada

por Gustavo Gomes Sáb 19 Jul 2014, 17:18

Olá, pessoal.

"Em uma cidade de 5000 habitantes, alguém resolve espalhar um boato. Considerando que a cada 10 minutos, cada pessoa que ouve o boato conta-o para três pessoas desinformadas, determine em quanto tempo toda a cidade fica conhecendo o boato."

Contextualizei o problema através da PG: 1,4,16,64,...

Assim, seria 1+2^2+2^4+...+2^n = 5000

Ou seja, seria uma soma de PG finita de razão 2^2 e primeiro termo 1.

Seria isso mesmo? Fiquei com dificuldade para calcular o valor de n e assim determinar o intervalo de tempo pedido.

Grato.

por Matheus Fillipe Sáb 19 Jul 2014, 17:57

Não é necessário fazer assim. NO primeiro momento uma pessoa sabe do boato. Depois 3 ficam sabendo de forma que temos um total de 4. Depois 27 ficam sabendo de forma que temos um total de 31. Use a PG 1,3,,9,27,81... E ache para qual N a soma de todos os termos é 500 ou maior. Vamos ver:
A soma dos primeiros n termos de um ph com termo inicial 1 é:

Sn=(r^n-1)/(r-1)=(3^n-1)/(3--1)=(3^n-1)/2

Que pode ser maios ou igual a 5000. Com certeza não será igual. Vejamos:

3^n-1=2*5000=10000

3^n=10001

Precisamos de um n maior que o necessário. Sabemos que:
3^8=6561
3^9=19683

Assim algo entre 80 e 90 minutos.

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