Equações Algébricas

por Bruno_SPLima Seg 23 Jun 2014, 01:02

Calcule p de modo que a equação $x^{3}+4x^{2}+px-1=0$

Tenha raízes em progressão geométrica

Gabarito:

por PedroCunha Seg 23 Jun 2014, 01:20

Olá.

Sejam as raízes x/q, x e xq.

Das relações de Girard:

(x/q) * x * xq = 1 .:. x³ = 1 .:. x = 1
x/q + x + xq = -4 .:. 1/q + 1 + q = -4 .:. 1/q + q = -5 .:. q² + 5q + 1 = 0 .:. q = (√21 - 5)/2 ou q = (-√21-5)/2

Pegando o primeiro valor (tanto faz):

(x/q)*x + (x/q)*xq + x*xq = p .:. x²/q + x² + x²q = p .:. 1/q + 1 + q = p .:.
2/(√21-5) + 1 + (√21-5)/2 = p

. 2/(√21-5) = (2√21 + 10)/(-4) = (√21+5)/-2 .:. (-5-√21)/2

(-5-√21)/2 + 1 + (√21-5)/2 = p .:. p = -4

Att.,
Pedro