Análise Combinatória - Permutação

Quantos são os anagramas da palavra ENERGIA que não apresentam consoantes juntas?

Hola.

Qual o gabarito?

Não tenho o gabarito ;/

Mesma ideia da outra: https://pir2.forumeiros.com/t70630-analise-combinatoria-permutacao-simples
_E_E_I_A_
permutando as vogais: 4!/2! = 12
Para não possuirem consoantes juntas elas devem ser colocadas num dos espaços, como há 5 espaços e 3 consoantes:C(5,3)
3! (permutando as consoantes)
12.C(5,3).3! = 720

Hola.

Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão:

Total de anagramas: 7!/2!1!1!1!1!1! = 5040/2 = 2520

(NRG) E E I A, permutação com as 3 consoantes juntas: 5!/2 * 3! = 60*6 = 360

(NR) E E I A G, permutação com 2 consoantes juntas:  6!/2! * 3! - 5!/2 * 3! = 
= 2160 - 360 = 1800

Solução: 2520 - 1800 = 720

Hola.

Usando o Primeiro Lema de Kaplansky:
O Primeiro Lema de Kaplansky nos fornecerá o número F(n,p) de subconjuntos de elementos nos quais não há números consecutivos, nesse caso específico, as consoantes.
F(n, p) = Cn – p + 1, p.
n = 7 é o número de letras da palavra ENERGIA
p = 3 é o número de consoantes
F(n, p) = C7-3 + 1,3
F(n, p) = C5,3 = 10. Portanto, há 10 maneiras de se colocar as consoantes N R G dentro dessas 7 celas:  --  --  --  --  --  --  --, sem que haja consoantes consecutivas. É muito importante notar que, além disso, essas 3 consoantes podem permutar entre si de 3! = 6.  Feito isso falta ajeitar as vogais de 4! formas, mas temos 2 EE repetidos, então: 4!/2!
Solução:

10* 3! * 4!/2! = 10*6*24/2 = 10*6*12 = 720