Pedra suspensa por corda-ITA

Eu faria por gráficos também; mas fiquei curioso e tentei sem usar esse recurso, vamos ver se obtive sucesso:

Inicialmente vamos impor a máxima aceleração possível até uma altura x e será feito em um tempo "ti"
Verticalmente ela terá as ações da força Peso(P) e da tração(T) da corda.
2 lei de newton na pedra permite escrever T - P = m.a <=> a = (T - P)/m (I)
com x = a.(ti)²/2 (II)

Após chegar a determinado ponto x a pedra deve sofrer desaceleração máxima(que deve se opor a velocidade da pedra) e subir mais (H - x) em um tempo "tf". Para que isso aconteça a força resultante na pedra deve ser para baixo e com máxima intensidade. Isso se obtém quando a Tração na corda é nula (T = 0)

Calculando a velocidade final da pedra no tempo ti;
v = ti.a (III); 
I em III: v = ti.(T - P)/m (IV)

Relacionando com o deslocamento e tempo final
(H - x) = tf.ti(T - P)/m - [(tf)².g]/2 (V)
substituindo II e realizando as operações.

Equação de torricelli para o deslocamento final.
0 = v² - 2.g(H - x) <=> (H - x) = v²/2g (VI)

Fazendo IV em VI e VI em V:
(ti)².(T - P)² = 2tf.P.ti.(T - P) - (tf)².P²

chamando ti(T - P) = y ficamos com
y² = (2tf.P)y - (tf)².P² o delta desta equação quadrática é 0 logo:

y = - (-2tf.P)/2 <=> y = tf.P => ti(T - P) = tf.P <=>
tf + ti = ti.T/mg (VII) (aqui trava)

pelo meu ver nesse caminho a resposta não ficaria em função de H, oque achei estranho. ahusa

Postei, até porque nessa "resolução" explica mais. Fisicamente falando.

Uma dúvida: a=v/m porque a é igual a tg. do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas. Assim, g não deveria ser negativo( g=-v/n)?

Eu também tentei várias abordagens sem o gráfico; mas em nenhuma delas consegui chegar em algo próximo da resposta

Veja que não faz sentido pegar o valor negativo, pois não tem sentido tempo negativo. O que nos interessa é o módulo de n.

Compreendi. Excelente resolução, parabéns

Dividindo a situação em duas situações: primeiramente a pedra sobe com aceleração máxima. Após, ela desacelera com aceleração máxima.
Na primeira situação, a pedra sobe uma altura que corresponde a h. Na segunda, sobe uma altura que corresponde a H-h. h é variável auxiliar, enquanto H é dado.
Na primeira situação, decorre um tempo t1. Na segunda, decorre um tempo t-t1. t1 é variável auxiliar enquanto t é justamente o tempo pedido.

Na primeira situação:
Fr = m.a = T - P = T - mg => a = (T - mg)/m
Nessa situação, a tração deve ser máxima (T dado) para propiciar obviamente uma aceleração máxima.
Logo, h = (T - m.g).(t1^2)/2.m (EQ I)
pela equação da função horária de um MRUV, com a trajetória para cima e o solo como sendo o referencial t=0 e s=0
Velocidade final, nessa situação, é (T - m.g).t1/m, pois a velocidade inicial era nula.

Na segunda situação:
Para aceleração máxima, deve haver tração nula.
Fr = m.a = P - T = P - 0 => a = m.g/m = g
Logo, H = h + vo.(t - t1) - g.[(t - t1)^2]/2 => H = h + (T - m.g).t1.(t - t1)/m - g.[(t - t1)^2]/2 (EQ II)
pela função horária de MRUV, visto que a posição inicial é o h da primeira situação e a velocidade inicial é a velocidade final da primeira situação.
Além disso, pode-se equacionar 0 = (T - mg).t1/m - g(t - t1) (EQ III)
pela função horária da velocidade na segunda situação, visto que a velocidade inicial na segunda situação é a velocidade final da primeira e instante final a velocidade deve ser nula.

Resolvendo o sistema com essas 3 equações acho que a questão sai kkkkk, pois há 3 incógnitas (t1, t e h) e 3 equações.
Pelas equações, é notável que a resolução gráfica torna-se bem + simples

Resolvi e deu certo. 
Basta isolar t1 na EQ III para obter t em função de t1.
Depois somar EQ I + EQ II e substituir t1
Dá um trabalhinho algébrico mas fecha