Plano Tangente

por zanker Sex 02 maio 2014, 23:37

Encontrei esta questão no livro,porém não estou conseguindo resolve-la. Um amigo, acredita que sai pelo conceito de gradiente, mas também não conseguiu resolver.
Determine o plano que passa pelos pontos $Plano Tangente Mimetex$ e $Plano Tangente Mimetex$ e que seja tangente ao gráfico de $Plano Tangente Mimetex.cgi?f(x,y)%20=%20xy$

R: x+6y-2z=3

por Man Utd Sáb 03 maio 2014, 16:18

Designando : $\\\\\\ A=(1,1,2) \;\;\;\;\;\;\;\;\; B(-1,1,1)$

Perceba que :

$\\\\\\ f(x,y)=xy \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; z=xy \;\;\;\;\; \Rightarrow 0=xy-z \;\;\;\;\; \Rightarrow g(x,y,z)=xy-z$

fórmula do gradiente: $\nabla \vec{g}= \frac{\partial g(x,y)}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\vec{j}+ \frac{\partial g(x,y)}{\partial z}\vec{k}$

então o gradiente de $\\\\\\ g(x,y,z)=xy-z$ aplicado no ponto : $\\\\\\ P(x_{0},y_{0},z_{0})$ é : $\\\\\\ \nabla \vec{g}=(y_{0},x_{0},-1)$ , como sabemos da teoria o vetor gradiente aplicado no ponto P é ortogonal a curva de nível da função.

O gradiente é ortogonal ao vetor formado pelos pontos A e B, e pelo vetor formado pelos pontos P e A. ( o ponto P é onde ocorre a interseção do plano com o gráfico da função).

$\\\\\\ \overline{AB}*\nabla \vec{g}=0 \\\\\\ \overline{PA}*\nabla \vec{g}=0$

segue que:

$\\\\\\ \overline{AB}=B-A=(-1,1,1)-(1,1,2)=(-2,0,-1) \\\\\\ \overline{PA}=A-P=(1,1,2)-(x_{0},y_{0},z_{0})=(1-x_{0},1-y_{0},2-z_{0})$

então o sistema fica:

$\\\\\\ \begin{cases}(-2,0,-1)*(y_{0},x_{0},-1)=0 \\\\\\ (1-x_{0},1-y_{0},2-z_{0})*(y_{0},x_{0},-1)=0 \end{cases}$

disso obtemos : $\\\\\\ y_{0}=\frac{1}{2}$ e $\\\\\\ z_{0}=\frac{3}{2}$ , da função :

$\\\\\\ z_{0}=x_{0}*y_{0} \;\;\;\;\; \Rightarrow \frac{3}{2}=x_{0}*\frac{1}{2} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; x_{0}=3$

Desse resultado decorre que $\nabla \vec{g}=\left(\frac{1}{2},3,-1 \right )$ : Então a equação do plano tangente é dado :

$\\\\\\ \frac{\partial g(x,y)}{\partial x}(x-x_{0}) + \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}(y-y_{0})+ \frac{\partial g(x,y)}{\partial z}(z-z_{0})=0$

$\\\\\\ \frac{1}{2}(x-3) + 3(y-\frac{1}{2}) -(z-\frac{ 3}{4})=0$

por Man Utd Sáb 03 maio 2014, 20:02

Outro modo :

sabemos que :

$Plano Tangente Gif$

representa a equação do plano tangente, e $\frac{ \partial g(x_{0},y_{0})}{\partial x}=y_{0} \;\;\;\; , \;\;\;\; \frac{ \partial g(x_{0},y_{0})}{\partial y}=x_{0} \;\;\;\; , \;\;\; \frac{ \partial g(x_{0},y_{0})}{\partial z}=-1$ .

Então para o ponto (1,1,2) :

$y_{0}(1-x_{0})+x_{0}(1-y_{0})-(2-z_{0})=0 \;\; (I)$

e para (-1,1,1) :

$y_{0}(-1-x_{0})+x_{0}(1-y_{0})-(1-z_{0})=0 \;\; (II)$

e $z_{0}=x_{0}y_{0} \;\; (III)$ , vc obtém tudo que precisa para montar a equação do plano.

por zanker Dom 04 maio 2014, 01:08

Muito Bom!

Obrigado Very Happy

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