Eq. modular

Considere a função f(x)= | x + 1| - | x - 1| , definida para x real. Analise as
afirmações seguintes sobre f.
0-0) f é par.
1-1) f é positiva.
2-2) f é injetora.
3-3) A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2].
4-4) f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y reais.

V-F ---> A  ordem primeira coluna se marca verdadeiro e a segunda falso.

Queria o passo a passo , como chego aos resultados , tentei fazer pelo estudo dos sinais , mas nao tive resultado .

f(x) = |x + 1 | - | x - 1 |


para valores de x < - 1

f(x) = ( - 1 - x ) - ( 1 - x ) -> f(x) = - 2


para valores de x -> - 1 ≤ x < 1:

f(x) = ( x + 1 ) - ( 1 - x ) -> f(x) = 2x


para valores de x -> x ≥ 1:

f(x) = ( x + 1 ) - ( x - 1 ) -> f(x) = 2


trace no plano coordenado os valores de f(x) relativos a cada intervalo.

a) f é par?

função par -> f( - x ) = f( x )

f( - 2 ) = f( 2 ) -> não -> falso

b) f é positiva ?

( -oo, 0 ) -> negativa

nula para x = 0

( 0, +oo ) -> positiva


c) f é injetora ?

valores diferentes de "x" correspondem a valores diferentes de "y"

para x1 diferente de x2 -> f( x1) diferente de f(x2)

só no intervalo ( - 1, 1 ) a função será injetora


d) A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2] ?

verdadeiro

e) f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y reais ?

sejam x = 2 e y = 2

f( 2 + 2 ) = f(2) + f(2)

f(4) = f(2) + f(2)

2 = 2 + 2

2 =4 -> falso


confira com gabarito.

Grande mestre , valeu.Mas fiquei com duvida no quesito letra B e E.

olá rodocarnot,

b) quando f(x) assume valores negativos a função é negativa

quando f(x) assume valores positivos a função é positiva



e)

f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y reais ?

sejam x = - 3 e y = 2

f( - 3 + 2 ) = f(- 3) + f(2)

f(- 1) = f(- 3) + f(2)

f( - 3 ) = - 2

f(2) = 2

f( - 1 ) = - 2 + 2 = 0

como f( - 1 ) = - 2 que é diferente de zero então f(x+y) ≠ f(x) + f(y)