Álgebra

Sejam x e y números reais distintos e não nulos tais que x²/y+y²/x+27/xy=9 Sobre o valor de y+x, podemos afirmar que:
gabarito:possui quatro  divisores inteiros

x²/y + y²/x + 27/xy = 9 ----> *xy

x³ + y³ + 27 = 9xy ---> x³ + y³ = 9.(xy - 3) ---> (x + y).(x² - xy + y²) = 9.(xy - 3)

Uma solução óbvia é x = y = 3


x + y = 6 ----> x + y = 2¹.3² ---->

Número de divisores inteiros positivos = (1 + 1).(1 + 1) = 4 ---> {1, 2, 3, 6}

Elcio,  o exercício cita ''números reais distintos e não nulos''.

epcariano

Falta de atenção minha ao ler o enunciado.

A resposta é curiosa: possui quatro divisores inteiros

Isto significa que possui 2 divisores inteiros positivos e 2 divisores inteiros negativos

Logo, x + y é um número primo:

x + y = 2 ----> Divisores inteiros {-2, -1, 1, 2}
x + y = 3 ----> Divisores inteiros {-3, -1, 1, 3}
x + y = 5 ----> Divisores inteiros {-5, -1, 1, 5}
x + y = 7 ----> Divisores inteiros {-7, -1, 1, 7}
.............................................................
x + y = 11 ---> Divisores inteiros {-11, -1, 1, 11}
etc.

A única possibilidade que eu enxergo é que x e y sejam números fracionários

O que você acha?

Foi postada uma questão quase igual nesses dias:
https://pir2.forumeiros.com/t65269-colegio-naval-algebra

A ideia é lembrar da fatoração clássica:
a³ + b³ + c³ -3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab - ac - bc)

x³ + y³ + 27 = 9xy
x³ + y³ + 3³ - 3(3xy) = 0
(x+y+3)(x² + y² + 3² -xy - 3x - 3y) = 0
O segundo fator é sempre positivo, logo:
x  + y = -3
4 divisores inteiros (-1,1,3,-3).

obs. para provar que o segundo fator é sempre positivo, podemos usar desigualdade das médias M.A ≥ M.G:
a² + b²  ≥ 2ab
b² + c² ≥ 2bc
a² + c² ≥ 2ac
somando:
a²+b²+c² ≥ ab + bc + ac,  a igualdade só ocorre para a=b=c , como x#y :
x² + y² + 3² -xy - 3x -3y > 0.