CN 1990

O número de polígonos regulares, tais que quais quer 
duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro, 
formam entre si ângulo expresso em graus por número 
inteiro, é:
a)17
b)18
c)21
d)23
e)24

Para os ângulos internos de um polígono ter valores inteiros (cada ângulo tendo valores inteiros, então o ângulo formado por duas diagonais que passam pelo centro terá valores inteiros), devemos ter a seguinte condição abaixo: (o ângulo interno de qualquer polígono deve ser menor que 180 porque, caso ultrapasse esse valor, é impossível formar polígonos)

(n - 2) x 180
------------  < 180
        n

Resolvendo a expressão, chega-se nisso:

 
    -360
    -----  < 0
         n

Para satisfazer tal condição e, o resultado ser inteiro, n obrigatoriamente tem que ser divisor de 360.
360 = 2³ x 3² x 5
N° de divisores pares de 360 = 18

O 2 não forma polígono regular, desse modo, temos que 17 polígonos satisfazem o que pede o enunciado.

Vlw!!