IME - 1990

Considere a família de retas representadas pela equação:  , onde p é uma constante positiva dada e m um número real variável. 

a)Determine a condição para que num ponto M = (x0, y0) do plano cartesiano, passem duas retas dessa família.
b)Determine o LG dos pontos M para os quais as retas que por eles passem sejam perpendiculares.

Resposta: 

Se passam em (x0, y0) para duas retas distintas, então teremos que para m diferentes. Primeiro isolamos m:
y = mx - p(1+m²)/(2m)
2my = 2m²x - p - pm²
m²(2x-p) - 2m(y) - p = 0
∆ = 4[ y² + p * (2x-p) ] = 4[ y² +2xp - p² ]
Para que passem duas retas diferentes, é necessário que m seja diferente. Ou seja, o valor do discriminante(∆) deve ser maior que zero, logo:
y²+2xp-p² > 0
y² > p² - 2xp
Ou, se isolarmos x:
2xp > p²-y²
x > (p/2) - (y²/2p)


Para que duas retas sejam perpendiculares, é necessário que o produto dos coeficientes seja equivalente a -1:
m₁*m₂ = -1
Mas como m₁ e m₂ são raizes do polinômio m²(2x-p) - 2m(y) - p, então por Girard temos:
-p/(2x-p) = -1 ---> p = 2x - p ---> x = p

Muito Obrigado