(IFRN - 2013) Raízes da equação
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(IFRN - 2013) Raízes da equação
por aryleudo Seg 27 Jan 2014, 16:06
Considere que a função real f, de variável real, definida por f(x) = x2 – 2kx – 2k – 1, admite duas raízes reais dadas por α = log(m.n) e β = log(m/n). Sendo assim, pode-se afirmar que a única alternativa verdadeira é:
A) m = 3n
B) m = 4n2
C) n = (5m)–1
D) n = (10m)±1
A) m = 3n
B) m = 4n2
C) n = (5m)–1
D) n = (10m)±1
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por Medeiros Seg 27 Jan 2014, 16:44
f(x) = x² - 2kx - (2k+1)
∆ = 4k² + 8k + 4 = 4.(k+1)²
para que f(x) tenha duas raízes reais devemos ter ∆>0 -----> k ≠ -1
para k = -1, f(x) = x² + 2x + 1
S = α + β -----> log(m.n) + log(m/n) = -2 -----> m = 1/10
P = α.β -------> log(m.n)*log(m/n) = 1 ---------> n = 1
testando as alternativas:
10m = 10*1/10 = 1 = n
1/(10m) = 1/1 = 1 = n
portanto: n = (10m)±1
∆ = 4k² + 8k + 4 = 4.(k+1)²
para que f(x) tenha duas raízes reais devemos ter ∆>0 -----> k ≠ -1
para k = -1, f(x) = x² + 2x + 1
S = α + β -----> log(m.n) + log(m/n) = -2 -----> m = 1/10
P = α.β -------> log(m.n)*log(m/n) = 1 ---------> n = 1
testando as alternativas:
10m = 10*1/10 = 1 = n
1/(10m) = 1/1 = 1 = n
portanto: n = (10m)±1
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por Luck Seg 27 Jan 2014, 17:18
Outra: é fácil ver que -1 é raíz (poderia tb ter achado por bhaskara).
então α = -1 ou β = -1 :
log(mn) = -1 ∴ mn = 10^(-1) ∴ n = (10m)^(-1)
log(m/n) = -1 ∴ m/n = 10^(-1) ∴ n = 10m
n = (10m)^(± 1)
então α = -1 ou β = -1 :
log(mn) = -1 ∴ mn = 10^(-1) ∴ n = (10m)^(-1)
log(m/n) = -1 ∴ m/n = 10^(-1) ∴ n = 10m
n = (10m)^(± 1)
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por aryleudo Seg 27 Jan 2014, 17:32
Ok Medeiros e Luck.
Mas vocês para resolver a questão estão levando em consideração o fato de a equação do segundo grau assumir raiz dupla, o que de acordo com o problema não é possível porque é dito que a equação do segundo grau admite duas raízes reais.
Seria o caso de uma questão mal elaborada?
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por Luck Seg 27 Jan 2014, 17:46
na minha solução não foi levado em consideração que a equação possui raíz dupla (isso ocorre para k = -1) , e sim que -1 é uma das raízes. Resolvendo por baskhara vai ver que -1 e 2k+1 são as raízes, então α = -1 e β = 2k+1 ou α = 2k+1 e β = -1.aryleudo escreveu:Ok Medeiros e Luck.Mas vocês para resolver a questão estão levando em consideração o fato de a equação do segundo grau assumir raiz dupla, o que de acordo com o problema não é possível porque é dito que a equação do segundo grau admite duas raízes reais.Seria o caso de uma questão mal elaborada?
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por Medeiros Seg 27 Jan 2014, 19:14
Aryleudo,
não achei a questão mal formulada, prova disso é a solução do Luck -- que, por sinal, adorei dado ser direta e rápida -- que passa ao largo dessa situação do k.
Eu resolvi "pelo figurino" e indiquei que devemos ter k≠-1 para existir duas raízes. Assim, qualquer valor de k nos serve porque o discriminante é sempre maior que zero. De todo o modo, como o enunciado manda "Considere que a função real f, ... , admite duas raízes reais", eu considerei que haviam e tomei o pior caso, k=-1, porque me facilitava as contas ao obter uma f(x) sem o k implícito.
Por outro lado, se vamos a minúcias, a raiz dupla ainda são duas raízes, apenas não são distintas; mas sobre serem distintas o enunciado nada fala.
não achei a questão mal formulada, prova disso é a solução do Luck -- que, por sinal, adorei dado ser direta e rápida -- que passa ao largo dessa situação do k.
Eu resolvi "pelo figurino" e indiquei que devemos ter k≠-1 para existir duas raízes. Assim, qualquer valor de k nos serve porque o discriminante é sempre maior que zero. De todo o modo, como o enunciado manda "Considere que a função real f, ... , admite duas raízes reais", eu considerei que haviam e tomei o pior caso, k=-1, porque me facilitava as contas ao obter uma f(x) sem o k implícito.
Por outro lado, se vamos a minúcias, a raiz dupla ainda são duas raízes, apenas não são distintas; mas sobre serem distintas o enunciado nada fala.
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Re: (IFRN - 2013) Raízes da equação
por aryleudo Seg 27 Jan 2014, 22:03
Ok Luck e Medeiros pelos esclarecimentos!
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