(IFRN - 2013) Fatorial

Sejam x e y números inteiros positivos tais que . Se M também pode ser representado pela soma , então o produto entre x e y vale:
A) 90.
B) 81.
C) 112.
D) 256.

M = (1/9!) + (1/3!7!) + (1/5!5!) + (1/7!3!) + (1/9!)
multiplicando por 10! :
10!M = 10!/(1!9!) + 10!/(3!7!) + 10!/(5!5!) + 10!/(7!3!) + 10!/(9!1!)
10!M = C10,1 + C10,3 + C10,5 + C10,7 + C10,9
seja S = C10,1 + C10,3 + C10,5 + C10,7 + C10,9
e S' = C10,0 + C10,2 + C10,4 + C10,6 + C10,8 + C10,10
S = S' ,somando as duas obtemos:
2S = C10,0 + C10,1 + C10,2 + C10,3 + ... + C10,10 
2S = 2^10 (teorema das linhas)
S = 2^9
então: 10!M = 2^9 ∴  M = 2^9/10!
x = 9 , y = 10
xy = 90

ps. ainda não tive uma boa idéia para provar que S=S' para o caso em que n é par (notei que é válido observando os valores no triângulo de pascal), para n ímpar provei no tópico abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t59680-binomios

Excelente Luck!

M = 1/9! + 1/3!7! + 1/5!5! + 1/7!3! + 1/9!

Reduzindo os termos semelhantes:

M = 2/9! + 2/7!3! + 1/5!5!

Fazendo com que em todo denominador apareça 9!:

M =2/9! +  2.9!/7!3!9! + 9!/5!5!9!

Usando o fatorial para reduzir as frações:

M =2/9! +  (2.9.8.7!)/(7!3!9!) + (9.8.7.6.5!)/(5!5!9!)

M =2/9! +  (2.9.8)/(3.2.9!) + (9.8.7.6)/(5.4.3.2.9!)

M =2/9! +  (3.8)/(9!) + (3.7.6)/(5.9!)

M =2/9! +  (24)/(9!) + (126)/(5.9!)

M =26/(9!) + (126)/(5.9!)

Fazendo o MMC:

M =26.5/(5.9!) + (126)/(5.9!)

M =130/(5.9!) + (126)/(5.9!)

M =256/(5.9!)

Manipulando a fração para que fique de acordo com o que é pedido, multiplicando o numerador e o denominador por 10:

M =256.10/(5.10.9!)

M =256.2/(10.9!)

M =512/(10!)

Transformando 512 em uma potência:

M =2^9/(10!)

então: x=9 e y=10
portanto : x.y = 9.10= 90