(IFRN - 2013) População do vilarejo

por **aryleudo** Seg 27 Jan 2014, 22:37

Um vilarejo tinha N habitantes em 2008, sendo N um número quadrado perfeito. No ano seguinte, essa população aumentou em 99 pessoas, mas, mesmo assim, a quantidade de pessoas da cidade continuou sendo um número quadrado perfeito. Em 2010, a quantidade de pessoas da cidade também era um quadrado perfeito, apesar de a população ter aumentado em 101 pessoas em relação ao ano anterior.

O número que expressa a população da cidade em 2008 é representado por um

A) cubo perfeito.

B) múltiplo de 7.

C) múltiplo de 5.

D) divisor de 5 682.

por **Medeiros** Ter 28 Jan 2014, 13:48

N habitantes é um quadrado perfeito. Seja N=a².
Do enunciado, temos:
a² + 99 = b²
b² + 101 = c² ..............(i)
portanto,
a² + 200 = c² ..............(ii)

(i)=(ii):
a² + 200 = b² + 101 -----> b² - a² = 99
(b-a)(b+a) = 99
fatorando, 99 = 3².11
então podemos ter os seguintes pares: (1, 99) (3, 33) (9, 11).
experimento o primeiro:
b - a = 1
b + a = 99
------------------
2b = 100 -----> b = 50 -----> a = 49

testando:
49² + 99 = 2500 = 50² ........... (isto já sabíamos)
50² + 101 = 2601 = 51²

portanto, N=a² -----> população do vilarejo em 2008: N = 49² = 2401 habitantes -----> múltiplo de 7