Triângulo medianas

Na figura AB=18cm, AC=24cm, BC=36cm, MN é paralelo a BC e G é o baricentro. determine o perimetro AMN.

Eu fiz desse jeito como o baricentro liga as medianas entao nos lados AB e AC ela corta a metade deles e MN é uma ligaçao de duas medianas que criam uma base media que é igual a metade da base BC.

19+12+18=39 nao da alternativa

Se puderem me ajudar eu agradeço desde já.


A)45
B)52
C)60
D)54

leopinna escreveu:Na figura AB=18cm, AC=24cm, BC=36cm, MN é paralelo a BC e G é o baricentro. determine o perimetro AMN.

Eu fiz desse jeito como o baricentro liga as medianas entao nos lados AB e AC ela corta a metade deles e MN é uma ligaçao de duas medianas que criam uma base media que é igual a metade da base BC.

19+12+18=39 nao da alternativa

Se puderem me ajudar eu agradeço desde já.


A)45
B)52
C)60
D)54

Boa tarde,

Inicialmente, G não pertence ao segmento MN; está mais abaixo, pois sendo G o encontro das 3 medianas, a distância AG é igual a 1/3 dessa mediana. Da forma em que se encontra a figura, a distância AG = 1/2 da mediana, o que não corresponde à realidade.

Verifique se os dados foram digitados corretamente, pois se AB for igual a 48 (em vez de 18), a soma dos lados será igual a 108, e a soma dos lados de AMN será igual à metade disso, ou seja, 108/2= 54, que iria coincidir com a última das alternativas.

Com os dados atuais, sua resposta (39) está correta.


Um abraço.

Leopinna,
note que os triângulos AMN e ABC são semelhantes (têm três ângulos iguais).
Seja J o ponto médio do lado BC; então AJ é uma mediana do triângulo ABC que passa pelo baricentro G. Dado que o segmento MN é paralelo a BC no ponto G, então G será ponto médio de MN e AG será mediana do triângulo AMN.
Assim, comparando a razão entre as áreas e o quadrado da razão entre segmentos homólogos, temos:

S_AMN/S_ABC = (AG/AJ)² -----> S_AMN/S_ABC = (2/3)² -----> S_AMN/S_ABC = 4/9

considerando, agora, os perímetros como segmentos homólogos:

S_AMN/S_ABC = (p_AMN/p_ABC)² -----> (2/3)² = [p_AMN/(18+24+36)]² -----> 2/3 = p_AMN/(18+24+36)

p_AMN = (2/3)*78 -----> p_AMN = 52 cm ..............alternativa B

Bom dia a ambos,

Nosso engano, leopinna, tem sido posicionar MN nos extremos das duas medianas que partem da base BC quando, na verdade, MN é um segmento que passa pelo centro de gravidade G distante, portanto, 2/3 da mediana que vem de A.

Tendo compreendido que o segmento MN corta a mediana que parte de A aos 2/3 de seu comprimento, temos que:
AM = 2/3 de AB
AN = 2/3 de AC
MN = 2/3 de BC

Perímetro de AMN = 2/3 * (AB + AC + BC) = 2/3 * (18 + 24 + 36) = 2/3 * 78 = 156/3 = 52 cm

Alternativa (B)

Explicando melhor:
Designemos pela letra D o pé da mediana relativa ao lado BC, que seria, então, AD.
Logo, pelo Teorema de Tales (paralelas interceptadas por várias transversais), temos:

AM/AB = AN/AC = MN/BC = 2/3
(AM + AN + MN)/(AB + AC + BC) = 2/3
AM + AN + MN = 2/3 * (18 + 24 + 36) = 2/3 * 78 = 156/3 = 52 cm




Um abraço.