medianas, área do triângulo

por **Medeiros** Sáb 26 Dez 2015, 00:06

Calcule a área do triângulo ABC sabendo que AC=3, BC=4 e as medianas AK e BL são mutuamente perpendiculares.

Resp.: √11

por Luís F. Sáb 26 Dez 2015, 02:26

O baricentro (G) divide cada mediana em dois segmentos na razão 1 para 2.

Assim sendo,se chamarmos AG de 2y,GK será y. Analogamente, se BG for 2x,GL será x.

Podemos montar um sistema aplicando Pitágoras nos triângulos formados

4y^2+x^2=2,25
4x^2+y^2=4

resolvendo,encontramos x=√33/6 e y=√3/3

Note que o segmento LK formará um triangulo com uma área que corresponde a 1/4 da do triangulo maior (semelhança de triângulos)
Assim,o triangulo maior terá 4/3 da área do trapézio que restou
Calculando a área do trapézio (produto das diagonais dividido por 2) e multiplicando por 4/3,temos
(√33.√3/4)4.3

√11