Propriedade das Medianas

por spawnftw Qui 09 Jan 2014, 23:54

As três medianas dividem o triângulo em 6 triângulos menores de mesma área.

Alguém prova isso?

por **Medeiros** Sex 10 Jan 2014, 02:24

Se não me engano isso já foi demonstrado aqui neste fórum -- acho que pelo Raimundo Pereira -- e deve fazer mais ou menos um ano e meio. Por preguiça de procurar, fiz esta demonstração para você.

Seja o triângulo ABC qualquer (no caso, um acutângulo), MNP os pontos médios de seus lados e G o baricentro, conf. figura. De 1 a 6 estão assinalados os seis triângulos internos formados pelas medianas.

teorema: triângulos de mesma altura e bases congruentes têm mesma área.

Considere a altura do ∆BGC. É a mesma para os ∆1 e ∆6. ------> S1 = S6
Analogamente para os ∆AGC e ∆AGB.

$\\ \left.\begin{matrix} S_1=S_6\\ S_3=S_2\\ S_5=S_4 \end{matrix}\right\} \text{...........equacoes (i)}$

Considere os triângulos limitados pela mediana AM do ∆ABC. Pelo teorema visto temos que:

$\\ S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6 \\ \text{substituindo convenientemente pelas eq.s (i), vem:}\\ S_1+S_3+S_3=S_4+S_4+S_1 \;\;\;\rightarrow\;\;\; 2S_3=2S_4 \\ \therefore\;\; \boxed{S_3=S_4} \;\;\;\overset{(i)}\Longrightarrow\;\;\; S_2=S_3=S_4=S_5\;\;\;\text{............(ii)}$

Considerando, agora, a mediana BN e raciocínio análogo, temos:

$\\ S_1+S_2+S_6=S_3+S_4+S_5 \\ \text{substituindo convenientemente pelas eq.s (i) e (ii), vem:}\\ S_1+S_3+S_1=S_3+S_3+S_3 \;\;\;\rightarrow\;\;\; 2S_3=2S_1 \\ \therefore\;\; \boxed{S_1=S_3} \;\;\;\overset{(i)}\Longrightarrow\;\;\; S_1=S_3=S_6\;\;\;\text{............(iii)}$

Portanto, como conclusão final de (ii) e (iii), temos:

S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆