Inequação logarítmica - Mackenzie-SP

por dudsliver1 Seg Dez 02 2013, 17:13

$y = \sqrt{log_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{x}{2} \right - 3 )}$

Na igualdade anterior, supondo x o maior valor inteiro possível, então, neste caso, x^y vale:

a) 4x
b) 1
c) 8x
d) 2
e) 2x

gabarito: b

agradeço quem puder ajudar =)

por **Elcioschin** Seg Dez 02 2013, 17:31

1)O logaritmando deve ser maior que zero (x/2 - 3) > 0 ----> x > 6

2) O radicando deve ser maior ou igual a zero: log[1/2](x/2 - 3) >= 0 ---> x/2 - 3 =< 1 ----> x =< 8

A interseção de ambos é 6 < x =< 8 ----> O maior valor possível é 8:

Para x = 8 ----> y = 0 ----> 8^0 = 1 ----> Alternativa B

por PedroCunha Seg Dez 02 2013, 17:44

Veja:

Antes de mais nada, vamos arrumar aquele log:

log(1/2) (x/2 -3) = log(2^{-1)} ( [x-6]/2 ) = -1 * log(2) ( [x-6]/2) = log(2) ([x-6]/2 )^{-1} =
log (2) (2/[x-6])

Agora veja:

Das condições de existência do log:

(2/[x-6]) > 0 --> x-6 > 0 --> x > 6

Agora:

O que está dentro da raiz tem que maior ou igual a zero:

log (2) (2/[x-6]) >= 0
2/[x-6] >= 1
2 >= x - 6
8 >= x
x <= 8

Fazendo a intersecção: 6 < x <= 8

Agora veja: Como o enunciado fala: "supondo x o maior valor inteiro possível", devemos ter x = 8, concorda?

Sendo assim:

y = log (2) (2/[x-6])
y = log(2) (2/2)
y = log(2) 1
y = 0

Logo: x^y = 8^0 = 1

É isso.

Att.,
Pedro