Gravitação

por mahriana Seg 02 Dez 2013, 08:56

Qual a relação aproximada entre altura H de uma montanha e a profundidade h de uma mina se o período das oscilações de um pêndulo simples no pico da montanha e no fundo da mina for igual?

a) h=2H
b) h=H
c)sqrt3h =H
d)sqrt2h=H
e) h=3H

Spoiler:

por **Robson Jr.** Seg 02 Dez 2013, 12:43

A gravidade a uma altura H acima do solo tem intensidade conhecida:

$\small g=\frac{GM}{(R+H)^2}$

Para calcular a gravidade a uma profundidade h, definimos a massa específica da terra e usamos o teorema das cascas:

$\small \rho_{\text{terra}}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \Rightarrow g'=\frac{G\left ( \frac{4}{3}\pi (R-h)^3 \right )\left ( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right )}{(R-h)^2}=\frac{GM(R-h)}{R^3}$

Para que os períodos sejam iguais, devemos ter g = g'.

$\small \\ \frac{GM}{(R+H)^2}=\frac{GM(R-h)}{R^3} \therefore R^2h+2HhR+hH^2=2HR^2+H^2R$

Temos h, H << R. Desprezando o termo hH²:

$\small R^2h+2HhR=2HR^2+H^2R \therefore Rh+2Hh=2HR+H^2$

Pelo mesmo motivo, desprezando 2Hh e H²:

$\small Rh=2HR \therefore h=2H$

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