Triângulo retângulo

por JuniorE Sex 20 Set 2013, 20:21

Considere um quadrado Q de lado a e cinco círculos de mesmo raio r interiores a Q, dos quais um é concêntrico com Q e tangente exteriormente aos quatro outros, e cada um deles tangencia dois lados consecutivos a Q. Determine a medida de r em função de a.

A resolução está assim:

Triângulo retângulo Xxco

mas como provar que aqueles três centros dos círculos que definem a hipotenusa são colineares?

por **Elcioschin** Sex 20 Set 2013, 21:29

Engir

Vamos completar o desenho plotando o centro D do círculo superior direito e traçando AD e CD

ABCD é um quadrado concêntrico com o quadrado externo A'B'C'D':

AB // A'B', BC // B'C', CD // C'D' e DA // D'A'

Sendo O o centro do círculo central, O é também é o centro de ambos os quadrados

Logo A, O e C estão sobre a diagonal A'C' e B, O e D sobre a diagonal B'D'

Assim, tanto A, O e C quanto B, O e D são colineares

por **raimundo pereira** Sex 20 Set 2013, 21:57

diagonal do quadrado=aV2--> (1)
diagonal do quadrado=4r+2rV2--->(2)

aV2=4r+2rV2
2r(2+V2)=aV2--->r=aV2/2.(2+V2)
r=aV2(2-V2)/4--->r=a(V2-1)/2