Polinômios

por DrZen Qui 12 Set 2013, 19:17

Seja p(x) = x^2 + ax + b , em que a e b são constantes reais. Determine o valor de cada uma dessas constantes, de forma que 4. p(x+1) = p (2x) - p(0) ∀ x ∈ C

Respostas : a = -4 e b = 3

Obrigado pela ajuda Very Happy

por MuriloTri Qui 12 Set 2013, 19:32

I) p(x) = x²+ax+b

II) p(0) = 0²+a.0+b implica p(0) = b
p(2x) = (2x)²+a.(2x)+b = 4x²+2ax+b
p(x+1) =(x+1)²+a.(x+1)+b = x²+(2+a)x+1+a+b

Como 4.p(x+1) = p(2x)+p(0)
4.[x²+(2+a)x+1+a+b] = [4x²+2ax+b] +
4x² + (8+4a)x + (4+4a+4b) = 4x² +2ax +2b

III) Comparação de coeficiente:

8 + 4a = 2a
a = -4

4+4a+4b=2b
4 -16 = -2b
-12 = -2b
b = 6

Confira o gabarito.

por DrZen Qui 12 Set 2013, 19:37

Obrigado

O gabarito está certo, porque é 4 p(x+1) = p(2x) - p(0) ao invés de 4 p(x+1) = p(2x) + p(0)

por **Elcioschin** Qui 12 Set 2013, 19:38

4.p(x + 1) = p(2x) - p(0)

4.[(x + 1)² + a(x + 1) + b] = (2x)² + a.(2x) + b - b

Desenvolva e compare, termo a termo

por Gabriel Rodrigues Qui 12 Set 2013, 21:44

MuriloTri escreveu:Como 4.p(x+1) = p(2x)+p(0)
4.[x²+(2+a)x+1+a+b] = [4x²+2ax+b] +
4x² + (8+4a)x + (4+4a+4b) = 4x² +2ax +2b

III) Comparação de coeficiente:

8 + 4a = 2a
a = -4

4+4a+4b=2b
4 -16 = -2b
-12 = -2b
b = 6

Ahoy, Murilo. Você se confundiu um pouco. A parte em vermelho não corresponde a p(0), já que p(0) = b, como você mesmo determinou.

4.p(x+1) = p(2x) + p(0)
4.[x² + 2(a+x) + 1+a+b = 4x² + 2ax + b - b

Como o "a" você acertou, compare o "b" (o Mestre também colocou a conta)

1+a+b = 2b -> 1-4 + b = 0 -> b = 3