Polinômios

por Victor Luz Qua 13 Dez 2017, 15:36

(CESGRANRIO) O polinômio P(x)=a0x³+a1x²+a2x+a3 se anula para 4 valores distintos de x. Podemos concluir que:

a) a0+a1+a2+a3=1
b) a0.a1.a2.a3=4
c) a0 < a1 < a2 < a3
d)a0>a1>a2>a3
e)a0=a1=a2=a3=0

Gabarito: E

por OBMarcos Qua 13 Dez 2017, 15:45

Como o polinômio é de grau 3, caso a0 seja não nulo, então ele tem no máximo 3 raízes complexas. Se a0=0 e a1 é diferente de 0, teremos um polinômio de grau 2, tendo no máximo 2 raízes complexas, e assim por diante. Portanto, a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0. Logo, todos os coeficientes e o termo independente são iguais a 0.

por Victor Luz Qua 13 Dez 2017, 16:40

OBMarcos escreveu:Como o polinômio é de grau 3, caso a0 seja não nulo, então ele tem no máximo 3 raízes complexas. Se a0=0 e a1 é diferente de 0, teremos um polinômio de grau 2, tendo no máximo 2 raízes complexas, e assim por diante. Portanto, a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0. Logo, todos os coeficientes e o termo independente são iguais a 0.

Excelente, obrigado!!!

por Jvictors021 Sex 10 Dez 2021, 10:57

Amigos essa parte da explicação do colega Marcos não consegui compreender se puderem me auxiliar...

"Portanto, a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0. Logo, todos os coeficientes e o termo independente são iguais a 0."

por OBMarcos Sex 10 Dez 2021, 14:55

Jvictors021 escreveu:Amigos essa parte da explicação do colega Marcos não consegui compreender se puderem me auxiliar...

"Portanto, a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0. Logo, todos os coeficientes e o termo independente são iguais a 0."

Note-se que, no último caso em que P(x) = a_0, temos duas possibilidades: se a_0 for diferente de zero, não existe valor de x que anule o polinômio; caso P(x) = a_0 = 0, então para qualquer valor de x, x é raiz de P(x), pois P(x) é sempre zero. Logo a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0, P(x) = 0.

por Jvictors021 Sex 10 Dez 2021, 16:33

OBMarcos escreveu:
Jvictors021 escreveu:Amigos essa parte da explicação do colega Marcos não consegui compreender se puderem me auxiliar...

"Portanto, a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0. Logo, todos os coeficientes e o termo independente são iguais a 0."

Note-se que, no último caso em que P(x) = a_0, temos duas possibilidades: se a_0 for diferente de zero, não existe valor de x que anule o polinômio; caso P(x) = a_0 = 0, então para qualquer valor de x, x é raiz de P(x), pois P(x) é sempre zero. Logo a única maneira para que o polinômio tenha 4 raízes ou mais, é quando P(x) não tem variável e seja igual a 0, P(x) = 0.

Muito obrigado marcos!!! Não havia conseguido enxergar isso.