Análise combinatória

Marcam-se 5 pontos distintos sobre uma reta r e 4 pontos distintos sobre uma reta s, paralela a r. Encontre:

a) o número de triângulos cujos vértices são 3 dos 9 pontos contidos nas retas dadas;
b) o número de quadriláteros convexos cujos vértices são 4 dos 9 pontos contidos nas retas dadas;
c) o número de retas determinadas por 2 dos 9 pontos contidos nas retas dadas;


Respostas: a)70
                b)60
                c)22


Desde já agradeço a ajuda!

Sejam:

.....A.........B.........C........D.........E
----*------*------*------*------*------ -> (r)

-------*-------*------*------*-------- -> (s)
..........F..........G.........H.........I


a) tomando-se um ponto da reta (s) e dois pontos na reta (r)

.....2
4*C... = 4*10 = 40
....5

tomando-se um ponto na reta (r) e dois pontos na reta

.....2
5*C.. = 5*6 = 30
.....4

logo: 40 + 30 = 70



b) tomando-se dois pontos na reta (r) e dois pontos na reta (s)

..2
C.. = 6
..4

.2
C.. = 10
..5

=logo: 6*10 = 60


c)

tomando-se um ponto na reta (s) e um ponto na reta (r)

..1
C.. = 4
..4

..1
C.. = 5
..5

logo: 4*5 = 20

mais as retas (r) e (s) = 2

logo: 20 + 2 = 22

Uma solução interessante é utilizando vetores.

Olhe bem:

Na reta [latex]R[/latex] temos 5 pontos e na reta [latex]R'[/latex] são 8 pontos, pela definição, um triângulo é a formação de três vértices.

Pegando um ponto de [latex]R[latex] podemos formar um triângulo com dois pontos de [latex]R'[/latex]
porém, agora pegando de [latex]R'[/latex] um ponto, podemos formar o triângulo com dois pontos agora de [latex]R[/latex].

Ou seja, o primeiro método é um vetor do tipo [latex](x_i,x_j,x_j)[/latex] com [latex]x_i \in R[/latex] e [latex]x_i \in R'[/latex].

Logo temos [latex]C^{1}_5 \cdot C^{2}_8+C^{1}_8 \cdot C^{1}_5[/latex]