Inequação - Confirmação

por spawnftw Sáb 20 Jul - 11:30

Calcule a inequação.

$log_2\;(x\;-\;1)\;\leq \;3\;+\;10\;.\;log_x_-_1\;2$

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por **Elcioschin** Sáb 20 Jul - 13:34

Condições de existência:

a) Logaritmando > 0 ---> x - 1 > 0 ----> x > 1
b) Base > 0 e base ≠ 1 ----> x - 1 ≠ 1 ----> x ≠ 2

c) Para 0 < x - 1 < 1 ----> 1 < x < 2 o sinal deve ser invertido

Mudando base (x - 1) para base 2

log[2](x - 1) ≤ 3 + 10.log[2](2)/log[2](x - 1) ----> Omitindo o log 2:

log(x - 1) - 3 - 10/log(x - 1) ≤ 0 ---> [log(x - 1)]² - 3.log(x - 1) - 10 ≤ 0 --->

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima ----> É negativa entre as raízes:

Raízes ----> log(x - 1) = -2 e log(x - 1) = 5

log[2](x - 1) = -2 ----> x- 1 = 2^-2 ---> x = 5/4

log[2](x - 1) = 5 ----> x - 1 = 2^5 ----> x = 33

Solução ----> 1 < x =< 5/4 e 2 < x ≤ 33

por spawnftw Sáb 20 Jul - 13:41

Grato novamento Elcio!!

por Chronoss Qui 1 Ago - 14:27

Na conclusão não deveria ser : 1 < x ≤ ( 5/4 ) e 2 < x ≤ 33 , não?

por Chronoss Sex 2 Ago - 9:30

por **Elcioschin** Sex 2 Ago - 9:54

Condições de existência ----> x > 1 e x ≠ 2

Pelo estudo da expressão (função negativa entre as raízes) ----> 5/4 =< x =< 33

Solução ---> 5/4 =< x < 2 e 2 < x =< 33

Editei minha solução original (em vermelho)

por Chronoss Sex 2 Ago - 10:47

Sr.Elcioschin, para o caso em que logaritmando (x-1) é menor que 1 e maior que 0 , a relação de desigualdade deveria ser invertida , ou não?

por **Elcioschin** Sex 2 Ago - 11:03

Sim, deveria ser invertida (eu me esqueci deste intervalo)

Para 0 < x - 1 < 1 ----> 1 < x < 2 ----> Sinal invertido

Solução (conforme você já tinha postado)----> 1 < x =< 5/4 e x >= 33

Parabéns meu amigo: você tem olho de águia!!!

Vou editar novamente!

por Chronoss Sex 2 Ago - 11:29

No final das contas o spawnftw já tinha obtido a resposta correta.

E obrigado Sr.Elcioschin , fico feliz com seu comentário, pois ao meu ver conseguir perceber detalhes menores é um indicativo de que estou conseguindo absorver a matéria decentemente.