Funções e intervalo?

Os valores de m tais que o número 2 seja interno ao intervalo das raízes da equação 3x^2 - 2mx + m = 0 são:
a) m >3
b) m > 0
c) m > 4

(Sugestão: Sendo f(x) = 3x^2 - 2mx + m, que sinal deve ter f(2)?)

Gabarito consta letra C.

Esse exercício é uma aplicação da comparação de um número real às raízes de uma função quadrática. 
Para que um número real a esteja entre as raízes x1 e x2 de uma função quadrática f, o produto a.f deve ser negativo (condição necessária e suficiente). Veja:

2.(3.2² - 2.m.2 + m) < 0 -> 2. (3.4 - 4m + m) < 0 -> 2. (12-3m) < 0 -> 24 - 6m < 0 -> -6m < -24 -> m > 4.


Você está tendo alguma dificuldade em assimilar os conceitos de função quadrática?

Gabriel, mas e a função f(x) = -x² + 8x - 12???

O número 3 está entre as raízes (2 e 6), mas 3*f(3) > 0.

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Eu resolveria o problema do tópico assim:
Se 2 tem que estar entre as raízes, então uma raiz será maior que 2 e a outra será menor que 2:

r2 > 2
r1 < 2


1) (2m + √(4m² - 12m))/6 > 2
√(4m² - 12m) > 12 - 2m
4m² - 12m > 144 -48m + 4m²
36m > 144
m > 4


2) ( 2m - √(4m² - 12m))/6 < 2
2m - √(4m² - 12m)] < 12
√(4m² - 12m)] > 2m - 12

4m² - 12m > 4m² - 48m + 144
-12 m > -48m + 144
36m > 144
m > 4



PORTANTO, M > 4




O fato de 1) = 2) é uma consequência da simetria da função. Mesmo assim, eu fiz ambos os cálculos para ser completo.

Que estranho, Leonardo. Vou verificar essa equação. Um momento.

"Gabriel, mas e a função f(x) = -x² + 8x - 12???

O número 3 está entre as raízes (2 e 6), mas 3*f(3) > 0."

a.f(α) < 0 ,  a = -1 e nao 3..
-1.f(3) < 0

Leonardo, me enganei quanto à teoria. Não temos que multiplicar o valor do número real pela sua imagem pela função, mas o coeficiente angular da função pela imagem desse número real. No caso de o coeficiente ser a e quisermos comparar o número g à função (para o mesmo caso de ele estar entre os zeros), vem:

a.f(g) < 0

No exercício, a e g tem o mesmo sinal (2 e 3), o que não influenciou no resultado. Mas na sua equação, a e g tem sinais opostos. Então, f(3) é positivo, mas o produto a.(f3) = -1.(f3) é negativo. 

Ficou meio confusa a explicação, mas acho deu pra entender. E valeu o aviso, já tinha me esquecido desse detalhe.

Luck escreveu:"Gabriel, mas e a função f(x) = -x² + 8x - 12???

O número 3 está entre as raízes (2 e 6), mas 3*f(3) > 0."

a.f(α) < 0 ,  a = -1 e nao 3..
-1.f(3) < 0

Luck, é exatamente isso. O produto é entre o COEFICIENTE e a IMAGEM DO NÚMERO pela função e não entre o número e sua imagem.

Ah ta. Explicado...