Prove que
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
spawnftw- Mestre Jedi
- Mensagens : 799
Data de inscrição : 14/05/2013
Idade : 27
Localização : Campinas, São Paulo
Re: Prove que
por Gabriel Rodrigues Sáb 22 Jun 2013, 20:59
Podemos demonstrar por indução matemática.
-> Solução particular: (1)
1.(1+1).(2.1 + 1)/6 = 1.2.3/6 = 6/6 = 1 -> 6 = 1² (válido)
-> Hipótese: 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
-> Prova: 1² + 2² + ... + (n+1)² = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6
De início, somamos (n+1)² a 1² + 2² + 3² ... + n². Da hipótese:
1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)².
Recomendo "abrir" todas as operações (vou chamar o primeiro termo da igualdade de "A", para reduzir os termos):
A = (2n³ + n² + 2n² + n + 6n² + 12n + 6)/6
A = (2n³ + 9n² + 13n + 6)/6
A = [(n²+3n+2).(2n+3)]/6
A = (n+1).(n+2).(2n+3)/6
A = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6
1² + 2² + ... + n² + (n+1)² = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6, c.q.d.
Mais ou menos isso.
( meu professor do PIC ficaria orgulhoso
)
-> Solução particular: (1)
1.(1+1).(2.1 + 1)/6 = 1.2.3/6 = 6/6 = 1 -> 6 = 1² (válido)
-> Hipótese: 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6
-> Prova: 1² + 2² + ... + (n+1)² = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6
De início, somamos (n+1)² a 1² + 2² + 3² ... + n². Da hipótese:
1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)².
Recomendo "abrir" todas as operações (vou chamar o primeiro termo da igualdade de "A", para reduzir os termos):
A = (2n³ + n² + 2n² + n + 6n² + 12n + 6)/6
A = (2n³ + 9n² + 13n + 6)/6
A = [(n²+3n+2).(2n+3)]/6
A = (n+1).(n+2).(2n+3)/6
A = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6
1² + 2² + ... + n² + (n+1)² = {(n+1).[(n+1)+1].[2(n+1)+1]} / 6, c.q.d.
Mais ou menos isso.
( meu professor do PIC ficaria orgulhoso
)Última edição por Gabriel Rodrigues em Sáb 22 Jun 2013, 21:07, editado 1 vez(es)
Gabriel Rodrigues- Matador
- Mensagens : 1148
Data de inscrição : 08/02/2013
Idade : 27
Localização : São Carlos, SP
spawnftw- Mestre Jedi
- Mensagens : 799
Data de inscrição : 14/05/2013
Idade : 27
Localização : Campinas, São Paulo
Gabriel Rodrigues- Matador
- Mensagens : 1148
Data de inscrição : 08/02/2013
Idade : 27
Localização : São Carlos, SP
Re: Prove que
por spawnftw Sáb 22 Jun 2013, 21:16
veja:
1² + 2² + 3² +...+ n² = n(n+1)(2n + 1)/6
para n = 1
1(1 + 1)(2.1 + 1)/6 = 1 (portando correto)
se é válida para um número k (Hipótese)
1² + 2² + 3²+... + k² = k(k+1)(2k + 1)/6
também é valida para um número (k+1)
1² + 2² + 3² +....+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k +3)/6
multiplicando o 1 termo e o 2 termo da hipótese por
(2k +3).(k+2)/k(2k +1) temos a solução válida para (k + 1)
c.q.d
assim que fiz
1² + 2² + 3² +...+ n² = n(n+1)(2n + 1)/6
para n = 1
1(1 + 1)(2.1 + 1)/6 = 1 (portando correto)
se é válida para um número k (Hipótese)
1² + 2² + 3²+... + k² = k(k+1)(2k + 1)/6
também é valida para um número (k+1)
1² + 2² + 3² +....+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k +3)/6
multiplicando o 1 termo e o 2 termo da hipótese por
(2k +3).(k+2)/k(2k +1) temos a solução válida para (k + 1)
c.q.d
assim que fiz
spawnftw- Mestre Jedi
- Mensagens : 799
Data de inscrição : 14/05/2013
Idade : 27
Localização : Campinas, São Paulo
Gabriel Rodrigues- Matador
- Mensagens : 1148
Data de inscrição : 08/02/2013
Idade : 27
Localização : São Carlos, SP
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
