Demonstrar relação das diagonais

por donkey94 Qui 13 Jun 2013, 19:42

Demonstrar a seguinte relação:
A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo qualquer é igual a soma dos quadrados dos lados. Ou seja: d1²+d2²=2(a²+b²).

por Gabriel Rodrigues Dom 16 Jun 2013, 18:33

Em todo paralelogramo, os lados e ângulos opostos são congruentes.
Chame as diagonais de d1 e d2, os lados de a e b e os ângulos de alfa e beta.
Aplique a lei dos cossenos para os dois ângulos.

Somando o resultado obtido nas duas diagonais:

d1² + d2² = a² + b² - 2ab.cos(alfa) + a² + b² - 2ab.cos(beta) -> d1² + d2² = 2.(a²+b²) - 2ab.cos (alfa+beta)

Como alfa e beta são ângulos não opostos de um paralelogramo, devem ser suplementares. Mas ângulos suplementares possuem cossenos opostos. Assim, alfa+beta = 0, o que implica que -2ab.cos(alfa+beta) = 2ab.cos0 = 0:

d1² + d² = 2.(a²+b²), c.q.d