Número de soluções em Arco Duplo

Olá
Considere a equação senx + sen2x + sen3x=0 em que x é um angulo em radianos. o numero de soluções da equação no intervalo
[0,2pi) é igual a:

a)2
b)4
c)6
d)8
e)10

Gabarito: C) 6 Soluções

-

Já desenvolvi e não cheguei em nada significativo que dê para visualizar as soluções. Obrigado

Vamos lá:

senx + sen(2x) + sen(3x) -> senx + (2senxcosx) + sen(2x+x) ->

senx + (2senxcosx) + (sen2xcosx + senxcos2x) ->

senx + (2senxcosx) + ((2senxcosx)cosx + senx(1 - sen²x)) ->

senx + (2senxcosx) + (2senxcos²x + senx - sen³x) ->


-sen³x + 2senx + 2senxcosx(1 + cosx) - (Dividindo tudo por senx)

-sen²x + 2 + 2cosx(1 + cosx) -> -sen²x + 2 + 2cosx + 2cos²x ->

-(1 - cos²x) + 2 + 2cosx + 2cos²x -> -1 + cos²x + 2 + 2cosx + 2cos²x ->

3cosx² + 2cosx + 1 = 0

Delta = 4 - 12 = -8

.....

Alguém pode me ajudar? rsrs

Onde eu errei?

Att.,
Pedro

Seu erro foi dividir por senx ----> E se senx = 0 como se faz para dividir por 0 ?
E você també errou na passagem da 2ª para a 3ª linha quando fez cos2x = 1 - sen²x (o correto é cos2x = 1 - 2.sen²x)

senx + sen2x + sen3x = 0 ---> senx + 2senxcosx + sen(2x + x) = 0 ---> senx + 2senxcosx + sen2xcosx + senxcos2x = 0 --->

senx + 2senxcosx + 2senxcosxcosx + senx(1 - 2sen²x) = 0 ---> senx + 2senxcosx + 2senxcos²x + senx - 2sen³x = 0 --->

senx + 2senxcosx + 2senx( 1 - sen²x) + senx - 2sen³x = 0 ---> senx + 2senxcosx + 2senx - 2sen³x + senx - 2sen³x = 0 --->

senx + 2senxcosx + 3senx - 4sen³x = 0 ---> 4senx - 4sen³x + 2senxcosx = 0 ----> senx(4 - 4sen²x + 2cosx) = 0 ---->

senx[4.(1 - sen²x) + 2cosx] = 0 ----> senx(4cos²x + 2cosx) = 0 ---> 2senxcosx(2cosx + 1) = 0

Soluções:

senx = 0 ----> x = 0, x = pi
cosx = 0 ----> x = pi/2, x = 3pi/2
2cosx + 1 = 0 ----> cosx = - 1/2 ----> Uma solução no 2º e outra no 4º quadrante (x = 2pi/3 e x = 4pi/3)

Total = 6 soluções

Entendi.

Obrigado Mestre.

Att.,
Pedro

Mestre, uma dúvida:

Quando é passível de fazer a simplificação por senx, cosx, etc.?

Att.,
Pedro

Em princípio não se deve dividir uma equação por senx, cosx, tgx, etc

Isto porque:

1) Estas funções podem valer zero ----> senx = 0, cosx = 0, tgx = 0 etc e a divisão por zero é impossível

2) Divididindo você elimina soluções da questão.

Assim, o correto é fatorar e igualar cada fator a zero

Entendo, mas por exemplo nesse tópico aqui:

https://pir2.forumeiros.com/t49322-transformacoes-trigonometricas

Também estaria errado?

Att.,
Pedro

adiantando a resposta do elcio, a rigor vc deveria dividir em dois casos, um em que a funçao trigonometrica e zero e ai vc n divide e iguala ela a zero pra ver se da algum resultado e outro em que a funçao e diferente de zero e ai vc pode dividir...porem naquele topico como e facil ver que cos²x=0 nao gera nenhuma soluçao, e desnecessario escrever isso, embora em uma prova mais rigorosa seja valido escrever so para garantir...

sobre a questao, acho mais agradavel resolve-la assim:
senx+sen2x+sen2x.cosx+senx.cos2x=0
senx(1+cos2x)+sen2x(1+cosx)=0
senx.2.cos²x+2.senx.cosx(1+cosx)=0
2senx.cosx(2cosx+1)=0
logo:
2senx.cosx=0 ou 2cosx+1=0
agora e facil terminar...

Ps:o mestre elcio errou no ultimo passo da fatoracao dele ao botar 2cosx em evidencia.ele esqueceu de tirar um 2 do (cosx)^2