Conjuntos

Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos . Sabe-se que o inverso de cada um deles é a dízima periódica simples e que , invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades , em todos eles , os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas . O número de subconjuntos de M é :

a) 16
b) 256
c) 1024
d) 2048
e) maior que 3000

RESPOSTA : B

Toda dízima periódica simples pode ser escrita na forma D / 999 ...9 Portanto, utilizando os números 2,3,5 e 7 para

construir uma dízima simples o número não pode terminar com 2 e 5 pois: 1/N = D / 999 ...9 , ou seja, 999 ...9 é

múltiplo de N, coisa que não é possível para um número terminado em 2 ou 5.

Portanto, apenas os números terminados em 3 ou 7 podem ser dízimas simples.

Pode-se provar que todo número da forma 1/N só é uma dízima composta se possuir 2 ou 5 como parte de seu

fatoramento, ou seja, o número depois de invertido tem que terminar em 2 ou 5

Portanto, os números que satisfazem as condições são:

237 523
253 527
257 537
273 573

Com 8 elementos o número se subconjuntos é (2)n = 256 Ou seja, (2)8 = 256

Só reescrevendo melhor o final :

Com 8 elementos o número se subconjuntos é 2^n = 256 Ou seja, 2^8 = 256

Alternativa B

Entendi , obrigado pela ajuda Ademir .

Ademir Sott escreveu:Toda dízima periódica simples pode ser escrita na forma D / 999 ...9  Portanto, utilizando os números 2,3,5 e 7   para

construir uma dízima simples o número não pode terminar com 2  e 5  pois:  1/N = D / 999 ...9 , ou seja, 999 ...9   é

múltiplo de N,  coisa que não é possível para um número terminado em  2 ou 5.

Portanto, apenas os números terminados em 3  ou 7  podem ser dízimas simples.

Pode-se provar que todo número da forma 1/N  só é uma dízima composta se possuir 2  ou 5  como parte de seu

fatoramento, ou seja, o número depois de invertido tem que terminar em  2 ou  5

Portanto, os números que satisfazem as condições são:

237 523
253 527
257 537
273 573

Com 8  elementos o número se subconjuntos é  (2)n = 256 Ou seja, (2)8  = 256

Mestre Ademir ou alguém poderia me tirar uma dúvida? O número N, no caso, poderia terminar com 1 também, além de terminar com 3 e 7, não? Agradeço se alguém puder me dar uma força!