Teorema do Resto Chinês

por laiuss Sáb 13 Abr 2013, 17:33

Encontrei outra solução para esse problema envolvendo o Teorema do Resto Chinês:

"Determine o menor inteiro positivo que tenha todos seus dígitos iguais a 4, e que seja múltiplo de 169." https://pir2.forumeiros.com/t13429-olimpiada-de-matematica

Seja 4444444.......44444 o número que estamos procurando.
Aplicando a regra de divisibilidade por 13, o menor número formado por algarismo 4 que é divisível por 13 é: 444 444.
Demonstração: Teorema do Resto Chinês %3Ca%20href=

$Teorema do Resto Chinês Gif$ , logo 13 | 444444 pela seguinte regra: 13 | ABCDE ⇔ 13 | (ABCD + 4E).
444444 / 13 = 34188
Multiplicando a igualdade por 10^6 e e somando com a anterior, temos:

Teorema do Resto Chinês %3Ca%20href=

$Teorema do Resto Chinês Gif.latex?%5Clarge%20%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7B444444%7D%7B13%7D=34188%20&%5C%5C%20&%5C%5C%5Cfrac%7B444444%5Ccdot%2010%5E%7B6%7D%7D%7B13%7D=34188%5Ccdot%2010%5E%7B6%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$
____________________________________

Teorema do Resto Chinês %3Ca%20href=

$Teorema do Resto Chinês Gif$
Então: 34188034188 é o resultado da divisão de 12 algarismos 4 por 13.
Se dividíssemos 18 algarismos 4 por 13, o resultado seria 34188034188034188
Pelo Teorema do Resto Chinês, chegamos a seguinte conclusão:
.....034188 034188 034188 034188 034188 (esse número deve ser divisível por 13 para que o produto dele por 13 seja também divisível por 169)

Para cada partição temos 188 - 034 = 154, o que equivale a descobrir o menor múltiplo de 154 seja divisível por 13, que só pode ser 13 * 154. Então se temos 154 * 13, devemos ter 13 partições do número 034188 para que seja divisível por 13 e, como para cada partição relacionamos o número de 6 algarismos 4, o número que procuramos tem 6*13 = 78 algarismos 4.

Teorema do Resto Chinês

Teorema do Resto Chinês

Um fórum livre e democrático.