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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA

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Mensagem por ivomilton Qua 04 Maio 2011, 18:19

Alguém consegue resolver?

Determine o menor inteiro positivo que tenha todos seus dígitos iguais a 4, e que seja múltiplo de 169.









Um abraço e muito obrigado!
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA Empty Re: OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA

Mensagem por Elcioschin Seg 09 Maio 2011, 13:45

Caro Ivomilton

Depois de pensar bastante, à procura do número N, pensei numa solução diferente: ao invés de procurar o número resolví procurar o quociente da divisão deste número por 169

Seja ......... FEDCBA o quociente da divisão de N = 444........44444 por 169

Uma coisa óbvia ----> Para N terminar por 4 ----> A = 6 (9*6 = 54 ----> vai 5)

Vou recorrer agora ao velho algoritmo da multiplicação, aprendido quando eu era criança (outro dia mesmo!!!!)




"Vai" da conta *9 ......................... 4 ..................... 6 .................... 5

"Vai"da conta *6 .......................... 4 ..................... 3

............................... E ................D .................... C .................... B ............... A = 6

* ....................................................................... 1 .................... 6 .................. 9
_______________________________________________________________________________
*9 .......................................... 4D+4................. 9C+6 ............. 9b+5 ................ 4

*6 .......................................... 6C+4 ................ 6B+3 ............... 36

*1 ........................................ 1B = B .............. 1A = 6

Vai 1 ............................................. 1 .................. 1 ...................
_______________________________________________________________________________
........................................................................................... 9B+5+36


Cálculo de B ----> 9B+5+6 = X4 ----> 9*7+5 + 6 = X4 ---> 68 + 6 = 74 ----> B = 7 ----> Vai 6

Cálculo de C ----> 9C + 6 + 6B + 3 + 6 + 1 = Y4 ----> 9C+6+6*7+10 = Y4 ----> 9C+58 = Y4 ---> C = 4 ----> Vai 4

E assim por diante. calculei até D = 6

Veja:

....... 6476 x
......... 169
_________
...... 8284
..... 8856
......476
_________
..... 44444

Não tive paciência de seguir adiante. É muito trabalhoso, porém levará a solução.
Alguém mais se habilita?
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA Empty Re: OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA

Mensagem por ivomilton Seg 09 Maio 2011, 16:23

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Caro Ivomilton

Depois de pensar bastante, à procura do número N, pensei numa solução diferente: ao invés de procurar o número resolví procurar o quociente da divisão deste número por 169

Seja ......... FEDCBA o quociente da divisão de N = 444........44444 por 169

Uma coisa óbvia ----> Para N terminar por 4 ----> A = 6 (9*6 = 54 ----> vai 5)

Vou recorrer agora ao velho algoritmo da multiplicação, aprendido quando eu era criança (outro dia mesmo!!!!)




"Vai" da conta *9 ......................... 4 ..................... 6 .................... 5

"Vai"da conta *6 .......................... 4 ..................... 3

............................... E ................D .................... C .................... B ............... A = 6

* ....................................................................... 1 .................... 6 .................. 9
_______________________________________________________________________________
*9 .......................................... 4D+4................. 9C+6 ............. 9b+5 ................ 4

*6 .......................................... 6C+4 ................ 6B+3 ............... 36

*1 ........................................ 1B = B .............. 1A = 6

Vai 1 ............................................. 1 .................. 1 ...................
_______________________________________________________________________________
........................................................................................... 9B+5+36


Cálculo de B ----> 9B+5+6 = X4 ----> 9*7+5 + 6 = X4 ---> 68 + 6 = 74 ----> B = 7 ----> Vai 6

Cálculo de C ----> 9C + 6 + 6B + 3 + 6 + 1 = Y4 ----> 9C+6+6*7+10 = Y4 ----> 9C+58 = Y4 ---> C = 4 ----> Vai 4

E assim por diante. calculei até D = 6

Veja:

....... 6476 x
......... 169
_________
...... 8284
..... 8856
......476
_________
..... 44444

Não tive paciência de seguir adiante. É muito trabalhoso, porém levará a solução.
Alguém mais se habilita?

Boa tarde, estimado amigo Elcio.

Eu também comecei utilizando um processo semelhante ao seu (para não dizer igual):

169
....A x
-------

Vi, como o amigo, que A teria que ser 6; então ficou:

169
....6 x
-------
1014

Para completar essa dezena 1, a fim de se tornar igual a 4, faltavam 3; múltiplo de 9 que termine em 3 requer multiplicador 7. Multipliquei então por 7 (tudo no papel, à mão...), e obtive:

...169
.....76 x
---------
....1014
..1183
---------
..12844

E assim fui prosseguindo, da direita para a esquerda.

Após conseguir cerca de uns 50 algarismos "4", fazendo ali como o amigo, no muque, cansei, desisti...
Mas depois, com a cuca mais refrescada, atinei com um processo que me levaria à solução.

Vou deixar mais algum tempo essa questão no site para ver, conforme você mesmo concluiu, se "alguém mais se habilita".

Muito obrigado por sua tentativa.





Um forte abraço e uma abençoada semana!
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Mensagem por mcgiorda Seg 09 Maio 2011, 21:26

Se eu não me engano, isso nunca ira ocorrer.

Sempre que dividir 44444...4 por 169 encontrara um período de uns 70 dígitos.

Corrija-me se estiver errado.

Pelo que eu saiba, se um número de x algarismos iguais, quando dividido por um número y e se obter um irracional periódico, x+1 também, quando dividido por y cairá num irracional periódico, com a vírgula deslocada uma casa decimal.
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Mensagem por ivomilton Seg 09 Maio 2011, 22:29

[Você precisa estar registrado e conectado para ver este link.] escreveu:Se eu não me engano, isso nunca ira ocorrer.

Sempre que dividir 44444...4 por 169 encontrara um período de uns 70 dígitos.

Corrija-me se estiver errado.

Pelo que eu saiba, se um número de x algarismos iguais, quando dividido por um número y e se obter um irracional periódico, x+1 também, quando dividido por y cairá num irracional periódico, com a vírgula deslocada uma casa decimal.

Boa noite, mcgiorda!

Eu também cheguei a pensar assim como você, pois, como respondi ao querido Elcio, cheguei a calcular manualmente (de maneira semelhante à que ele fez) e quando estava já passando de 50 algarismos "4", pensei que provavelmente aquela questão não tinha solução.

Contudo, mais tarde me veio à mente certa característica dos números, através da qual cheguei à resposta. Posso lhe afirmar, com certeza, que o número existe. Ele é mesmo bem extenso, mas existe...

Vou dar mais um tempo para ver se mais alguém se habilita e então colocarei a minha resolução.






Um abraço.
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Mensagem por Agente Esteves Ter 10 Maio 2011, 16:48

Eu me lembro que eu também tentei realizar este cálculo, mas quando chegou aos mais ou menos dez algarismos, também desisti.

Penso como o mcgiorda, já que várias vezes alguns números se repetiam e faziam chegar sempre a um numerozinho diferente de quatro.
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Mensagem por ivomilton Sex 13 Maio 2011, 08:48

Bom dia, amigos Elcio, mcgiorda e Agente Esteves !

Estou retornando para, afinal, colocar a solução desta questão, a qual, embora pareça irresolvível, tem solução.

Antes de apresentar os cálculos relativos aos dados da questão em pauta, gostaria de expor qual foi a base que usei para resolver.

Dias antes de tomar contato com este problema, havia resolvido outro semelhante em que, no lugar de 169, o divisor era 13.

Dividi o valor de cada casa (unidades, dezenas, centenas, etc.) por 13 e passei a observar o comportamento dos restos das divisões:

.............1/13 — quociente 0 .......... — resto 1
...........10/13 — quociente 0 .......... — resto 10
.........100/13 — quociente 7 .......... — resto 9
.......1000/13 — quociente 76 ........ — resto 12
....10000/13 — quociente 769 ....... — resto 3
..100000/13 — quociente 7692 ..... — resto 4
1000000/13 — quociente 76923 ... — resto 1

Ao observar atentamente os restos, notei que o sétimo voltava a ser igual a 1, e que os três primeiros com os três seguintes se completavam, de maneira que a soma de cada par assim formado era sempre igual a 13:
1 + 12 = 13
10 + 3 = 13
9 + 4 = 13

Portanto, obtive:
1+10+100+1000+10000+100000+100000 = 111111
111111/13 deu quociente exato = (7+76+769+7692+76923 + 3 (dos três 13 dos restos) = 85470.

E a razão de 111111/13 dar quociente exato é porque os restos se completavam aos pares, formando somas iguais a 13, conforme acabei de expor.

Lembrando-me desse fato, considerei que, fazendo o mesmo com o divisor 169, também deveria obter uma sequência de restos que, após determinada quantidade, deveria voltar ao resto 1, pois tanto o divisor 13 como o divisor 169 são geradores de dízimas periódicas simples (nenhum desses divisores contém, entre seus fatores primos, 2 ou 5).

Notei, também, que para se obter os restos 1, 10, 9, 12, 3 e 4, poderia obtê-los também da seguinte forma (anotando agora tão somente os restos das divisões):

....1/13 — resto 1 → para as próximas divisões basta adicionar um zero a cada resto, e continuar dividindo por 13:
..10/13 — resto 10
100/13 — resto 9
..90/13 — resto 12
120/13 — resto 3
..30/13 — resto 4
..40/13 — resto 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Iniciarei agora a solução da questão proposta, realizando divisões semelhantes, só mudando o divisor para 169:

......1/169 — resto 1 ............. 1520/169 — resto 168
....10/169 — resto 10 ........... 1680/169 — resto 159
..100/169 — resto 100 ......... 1590/169 — resto 69
1000/169 — resto 155 ........... 690/169 — resto 14
1550/169 — resto 29 ............. 140/169 — resto 140
..290/169 — resto 121 ......... 1400/169 — resto 48
1210/169 — resto 27 ............. 480/169 — resto 142
..270/169 — resto 101 ......... 1420/169 — resto 68
1010/169 — resto 165 ........... 680/169 — resto 4
1650/169 — resto 129 ............. 40/169 — resto 40
1290/169 — resto 107 ........... 400/169 — resto 62
1070/169 — resto 56 ............. 620/169 — resto 113
..560/169 — resto 53 ........... 1130/169 — resto 116
..530/169 — resto 23 ........... 1160/169 — resto 146
..230/169 — resto 61 ........... 1460/169 — resto 108
..610/169 — resto 103 ......... 1080/169 — resto 66
1030/169 — resto 16 ............. 660/169 — resto 153
..160/169 — resto 160 ......... 1530/169 — resto 9
1600/169 — resto 79 ............... 90/169 — resto 90
..790/169 — resto 114 ........... 900/169 — resto 55
1140/169 — resto 126 ........... 550/169 — resto 43
1260/169 — resto 77 ............. 430/169 — resto 92
..770/169 — resto 94 ............. 920/169 — resto 75
..940/169 — resto 95 ............. 750/169 — resto 74
..950/169 — resto 105 ........... 740/169 — resto 64
1050/169 — resto 36 ............. 640/169 — resto 163
..360/169 — resto 22 ........... 1630/169 — resto 147
..220/169 — resto 51 ........... 1470/169 — resto 118
..510/169 — resto 3 ............. 1180/169 — resto 166
....30/169 — resto 30 ........... 1660/169 — resto 139
..300/169 — resto 131 ......... 1390/169 — resto 38
1310/169 — resto 127 ........... 380/169 — resto 42
1270/169 — resto 87 ............. 420/169 — resto 82
..870/169 — resto 25 ............. 820/169 — resto 144
..250/169 — resto 81 ........... 1440/169 — resto 88
..810/169 — resto 134 ........... 880/169 — resto 35
1340/169 — resto 157 ........... 350/169 — resto 12
1570/169 — resto 49 ............. 120/169 — resto 120
..490/169 — resto 152 ......... 1200/169 — resto 17

Até aqui foram 39 divisões; nas 39 divisões seguintes, os restos serão complementares destes, a começar do 40º (primeiro da segunda coluna), pois o resto 168 é o complementar do resto 1 porque a soma de ambos perfaz 169!

A exemplo do que ocorreu na demonstração feita com o divisor 13, todos os pares somam 169; e como são 39 pares, a soma de todos esses 78 restos será igual a 39 x 169, evidentemente um múltiplo de 169, de modo que:

1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 10000...(78 algarismos)...000 = 11111111...(78 algarismos iguais a 1).....111.

Para obtermos um número cujos algarismos sejam todos iguais a “4”, basta que se multiplique o número acima por 4.
Quanto ao quociente desejado, fiz a divisão do número 44444.....(78 algarismos iguais a 4)....444 por 169, utilizando a calculadora científica do Windows. Como não caberia todos os 78 algarismos de uma vez, reparti o número em três partes de 26 algarismos cada uma (=78/3) e depois fiz as devidas “emendas” dos quocientes obtidos.

Como as duas primeiras partes deram como quocientes números decimais fracionários, anotei a parte inteira num papel e depois subtrai essa parte inteira do quociente obtido, restando apenas a parte decimal menor que um inteiro. A seguir, multipliquei esse resíduo por 169 obtendo assim o resto da divisão dessa primeira parte por 169:

262984878369493754109138 — e 122 de resto.

Para fazer a divisão da segunda parte de 26 algarismos, iniciei colocando primeiramente o resto acima (122) seguido de 26 algarismos “4”, obtendo:

72452333990795529257067718— e 102 de resto.

Finalmente efetuei a divisão da terceira e última parte, iniciando com o resto 102, seguido dos 26 algarismos “4” restantes, obtendo:

60618014464168310322156476 — esta divisão, como era de se esperar, deu quociente inteiro.

Conclusão: O número pelo qual se deve multiplicar 169 para obter o menor número inteiro composto tão somente de algarismos “4” é o seguinte (justapondo-se os três quocientes inteiros acima):

2629848783694937541091387245233399079552925706771860618014464168310322156476 — 76 agarismos!

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Adendo: Consegui criar algumas fórmulas sobre congruências, através das quais será possível calcular números que tenham certa quantidade de algarismos iguais quando divididos por certos divisores primos. Essa quantidade de algarismos iguais é definida pelo expoente da potência de 10, que forma o primeiro membro de cada equação. Note que se o divisor for igual ao quadrado de 7, 17, 37, ..., poderemos obter números formados por enorme quantidades algarismos iguais, que sejam múltiplos desses divisores!

10^(n-1) ≡ 1 (mod n) → para n = 7, 17, 47, 67, 97 → estes formam números com 6, 16, 46, 66, 96 algarismos iguais!!

10^(n-1)/2 ≡ 1 (mod n) → para n = 13, 43, 53, 83 → estes, com 6, 21, 26, 41 algarismos iguais!

10^(n²-n) ≡ 1 (mod n²) → para n² = 7², 17², 37², 47², 67², 97² → estes, com 42, 272, 1332, 2162, 4422, 9312 algarismos iguais!!!!

10^(n²-n)/2 ≡ 1 (mod n²) → para n² = 13², 43², 53², 83² → estes, com 78, 903, 1378, 3403 algarismos iguais!!!


Nota: Calculei essas congruências usando a calculadora científica do Windows.





Um abraço para cada um de vocês!


Última edição por ivomilton em Sex 13 Maio 2011, 13:24, editado 1 vez(es)
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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA Empty Re: OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA

Mensagem por Elcioschin Sex 13 Maio 2011, 10:56

Caríssimo Ivomilton

Somente com uma mente privilegiada, e uma paciência infinita como as suas, seria possível apresentar esta belíssima solução.

Parabéns e cuidado com neurônios: eles podem ficar superaquecidos (ahahah)
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Mensagem por arimateiab Sex 13 Maio 2011, 11:28



:SW2: :SW2: :SW2:
cheers cheers cheers
Excelente genial solução Ivomilton.


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Mensagem por arimateiab Sex 13 Maio 2011, 11:30

Na minha opnião essa questão deve ir para a seção "QUESTÕES FORA DE SÉRIE (RESOLVIDAS)".

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