Função!

por Renanboni 29/3/2013, 11:48 am

E ai galera,beleza?
Estou tentando fazer um exercício do livro FME mas não está batendo com o gabarito,lá vai:

Sejam as funções reais g(x) = 2x-3 e (fog)(x) = 2x² - 4x + 1. Determine a lei da função f.
Minha resposta:f(x) = x² + 4x + 4.

Alguémpra me ajudar? Valeu!

por danjr5 29/3/2013, 12:10 pm

Renanboni,
boa tarde!

Supomos que $f(x)$ tenha grau 2, então, é da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Segue que:

$\\ (fog)(x) = 2x^2 - 4x + 1 \\ f(g(x)) = 2x^2 - 4x + 1 \\ f(g(x)) = a(2x - 3)^2 + b(2x - 3) + c \\ f(g(x)) = 4ax^2 - 12ax + 9a + 2bx - 3b + c \\ 2x^2 - 4x + 1 = 4ax^2 + (- 12a + 2b)x + (9a - 3b + c) \\ \begin{cases} 4a = 2 \\ - 12a + 2b = - 4 \\ 9a - 3b + c = 1\end{cases}$

Da equação I:

$\\ 4a = 2 \\ \boxed{a = \frac{1}{2}}$

Equação II:

$\\ - 12a + 2b = - 4 \;\; (\div 2 \\ b = - 2 + 6a \\ b = 3 - 2 \\ \boxed{b = 1}$

Equação III:

$\\ 9a - 3b + c = 1 \\\\ c = 1 - \frac{9}{2} + 3 \\\\ c = 4 - \frac{9}{2} \\\\ \boxed{c = - \frac{1}{2}}$

Com efeito,

$\boxed{\boxed{f(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2}}}$

por Renanboni 29/3/2013, 12:15 pm

Entendi perfeitamente! Muito obrigado pela explicação,só uma pergunta,
a sua resposta,f(x) = x²/2 + x - 1/2 é equivalente a x² + 2x - 2/2 ? Obrigado novamente pela atenção e bom fim de semana!

por danjr5 29/3/2013, 12:32 pm

Renanboni, a resposta a tua pergunta é não!
A equação que comparaste com a minha resposta final é o gabarito? Se sim, ainda não estou a perceber erro em minha resolução!

por Renanboni 29/3/2013, 12:38 pm

A resposta do gabarito é x²+ 2x -1 /2,creio que seja a mesma que a sua mas escrita de outra forma,não?

por danjr5 29/3/2013, 12:56 pm

Tiremos a prova real do seu gabarito:

$\\ \begin{cases} f(x) = x^2 + 2x - \frac{1}{2} \\ g(x) = 2x - 3 \\ f(g(x)) = 2x^2 - 4x + 1 \end{cases} \\\\\\ f(g(x)) = (2x - 3)^2 + 2(2x - 3) - \frac{1}{2} \\\\ f(g(x)) = 4x^2 - 12x + 9 + 4x - 6 - \frac{1}{2} \\\\ f(g(x)) = 4x^2 - 8x + \frac{5}{2} \\\\ \text{Note que,} \\\\ \boxed{f(g(x)) \neq f(g(x))}$

Por fim, podemos concluir que o seu gabarito está incorreto!