Triângulos

Seja ABC um triângulo equilátero e P um ponto interior a este triângulo . Sabendo AP = 5 , BP = 4 e CP = 3. Determine o lado desse triângulo.

OBS: Não sei a resposta.

:vfg:

Raimundo,
1) triângulos pitagóricos não possuem ângulos de 30° e 60°;
2) pelo que imagino, isso vai dar muita conta; um sistema a partir da lei dos cossenos aplicada três vezes e, ainda, considerar a soma dos ângulos em torno de P.

Medeiros ,



Lembrei que quando estudei com meu filho para o CN  tinha visto esse problema. Procurei os cadernos dele e encontrei uma resol. usando uma fórmula  . Teorema de  Prithwijit DE ,
3(A^4 + B^4 +C^4 +L^4)=a²+b²+c²+L²)². Desenvolvendo esse "palavrão" com os dados do nosso problema chegaram a:
L^4-50L²+193=0---->L²=(50+-24V3)/2 ---->L²=25+-12V3---->L=V45,7


O que eu fiz:


lei dos cossenos em BPD--->PD²=3²+3²-2.3.3.cos60---PD²=9--->PD=3  BPD____> é equilátero.
lei dos cossenos em APD--->AD²=3²+5²-2.3.5cos A^PB---->4²=9+25-30cosA^PB---->cosA^PB=18/30=3/5=0,6
A^PB=53°----> então A^PB=53+60=113°

L²=AB²=3²+5²-2.3.5.cos113°
L²=9+25+30.cos(180-113)--->L²=34+30.cos67°--->L²=34+30.0,391--->L²=34+11,7--->L=V45,73

Medeiros ,



Lembrei que quando estudei com meu filho para o CN  tinha visto esse problema. Procurei os cadernos dele e encontrei uma resol. usando uma fórmula  . Teorema de  Prithwijit DE ,
3(A^4 + B^4 +C^4 +L^4)=a²+b²+c²+L²)². Desenvolvendo esse "palavrão" com os dados do nosso problema chegaram a:
L^4-50L²+193=0---->L²=(50+-24V3)/2 ---->L²=25+-12V3---->L=V45,7


O que eu fiz:


lei dos cossenos em BPD--->PD²=3²+3²-2.3.3.cos60---PD²=9--->PD=3  BPD____> é equilátero.
lei dos cossenos em APD--->AD²=3²+5²-2.3.5cos A^PB---->4²=9+25-30cosA^PB---->cosA^PB=18/30=3/5=0,6
A^PB=53°----> então A^PB=53+60=113°

L²=AB²=3²+5²-2.3.5.cos113°
L²=9+25+30.cos(180-113)--->L²=34+30.cos67°--->L²=34+30.0,391--->L²=34+11,7--->L=V45,73

Raimundo, infelizmente não concordo com o que você fez pois embora tenha chegado no resultado numérico (apenas aproximadamente), parece-me que:
1) construiu sobre o segmento PB um triângulo equilátero -- tudo bem, é possível;
2) diz que o segmento AD vale 4 -- para isto não há suporte até então, precisa provar. Aliás, se afirmamos que AD=4, nem precisa usar a lei dos cossenos porque temos um triângulo pitagórico 3-4-5 e o ângulo A^PB é automático.

Mas sua informação sobre o teorema, o qual desconhecia, levou-me a pesquisar e encontrei:

A) https://pir2.forumeiros.com/t16018-teorema-de-prithwijit-de

B) Neste, veja a segunda resposta -- Resolução da OBMEP -- que traz a resolução sem o uso daquele teorema (não me atrevo a sequer tentar escrever o nome!) e produz uma resposta bem mais rápido do que imaginava.
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-olimpiadas/russia-geometria-plana-t21916.html

Abs.

Valeu Medeiros ,
Para mim, e exercício rendeu bons ensinamentos.
Na verdade eu não disse que AD=4 , eu simplesmente transportei o triângulo BPC de modo a formar o quadrilátero ADBP , com BDP isósceles. Creio que isso não deve ser complicado para provar que é possivel. No livro ( fund. da mat. elementar - geometria,  vol 9 ) ,tem um exercicio similiar resolvido do mesmo jeito que fiz, com valores de AP=7,  BP=5 e CP=8 e chega a um resultado de L=V129.
Fund. da mat elementar - geo vol 9 pag. 256 ex. 670.

O post do tutor brasil eu desconhecia. Mas a resol. algébrica do Theblackmamba é a mesma que tem no caderno do do meu filho, a outra,  acho que o Aldrin também andou vendo o livro fund. mat elemnetar.

Entendi que o Aldrin é o portador da resposta que traz a "Resolução da OBMEP", conforme ele cita logo ao início.

Então você fez uma rotação do triângulo BPC em 60° no sentido anti-horário em torno de B -- mesma lógica, inclusive, da solução da OBMEP -- mas você não disse isso na resolução e me levou ao comentário discordante anterior, pois apenas vi você "jogar" o 4 na lei dos cossenos.

Acho essa resolução geométrica muito mais bonita, é a minha preferida.

:bball: