Função e gráfico

Esboce o gráfico da seguinte função: f(x) = x^3 - x

Gostaria de saber como esboço esse gráfico conhecendo a curv f(x) = x^3


Se alguém puder me indicar um livro de cálculo que explique um pouco mais sobre isso agradeço. Atualmente uso o do Guidorizzi, que apenas explica alguns casos e outros (como esse) possuem apenas a resposta.

Obrigada

Oi Giiovanna,

em relação a f(x)=x³, a função g(x)=x³-x não apresenta traslados, nem vertical, nem horizontal.

A diferença reside nas suas derivadas, de sorte que f(x)=x³ apresenta apenas um ponto crítico que é de inflexão, enquanto g(x)=x³-x apresenta dois pontos críticos que são um máximo e um mínimo local.

Enquanto f(x)=x³ apresenta uma transição suave, g(x)=x³-x tem duas corcovas. f(x) tem uma raiz tripla e g(x) tem tres raízes reais.

Obrigada Euclides. Só uma dúvida: Eu deveria saber esses dois pontos máximos e mínimos?

A dificuldade que eu estou encontrando é em desenhar gráficos que eu nunca vi, então tento partir dos que conheço, o que na maioria d as vezes é o que realmente se deve fazer (como transladar horizontalmente, verticalmente).

Porém, tanto esse quando x^3 - x^2 não sei como proceder, como esboçar as curvas ou justificar seus formatos.

Lembro que esses exercícios são da minha lista 0 de cálculo, ou seja, tendo como base que os alunos só tem o conhecimento do ensino médio pra fazer isso e os livros indicados, que apenas apontam os desenhos.

Oi Giiovanna,

é, para encontrar os pontos críticos nós vamos precisar das derivadas (que viriam então mais adiante).

Sem elas é possível:

- verificar que não há traslados
- verificar as raízes

pode-se produzir um "esbôço"

Ok Euclides, obrigada

A questão pede para "tentar" esboçar provavelmente por que ele só será feito mais parecido com o que realmente é quando entrarmos em derivadas

Giovanna

Algumas dicas

1) Primero tente encontrar as raízes da função -----> f(x) = 0 ----> x³ - x = 0 ----> x*(x² - 1) = 0 ----> x*(x - 1)*(x + 1) = 0

Temos as três raízes ---> x = -1, x = 0 e x = 1 (Função do 3º grau tem 3 raízes)

2) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais é preciso derivar

f(x) = x³ - x ----> f '(x) = 3x² - 1 ----> f "(x) = 6x

Para encontra os pontos de máximo e mínimo locais ----> f '(x) = 0 ----> 3x² - 1 = 0 ----> x² = 1/3 ----> x' = - \/3/3 e x" = \/3/3

Para saber onde é máximo e onde é mínimo é preciso analisar o sinal de f "(x)

f "(x) = 6x ---> Para x = - \/3/3 ----> f !(x) = - 2.\/3 -----> Como é negativo é um máximo local

E, para x = \/3/3 ----> f "(x) > 0 ----> Mínimo local

Entendi Elcio. Tinha ficado confusa com a derivada pois você colocou x^2 la em cima, mas é x^3-x. Erro de digitação.

Isso de derivada eu sei fazer

Errei na digitação. Já editei (em vermelho)

Com estas dicas você conseguirá construir a maioria dos gráficos.

Mais uma dica

Imagine a função f(x) = 1/(x - 2)

Uma coisa óbvia: a função não existe para x = 2 (anularia o denominador.

Isto significa o seguinte: existe uma assíntota vertical no gráfico

Trace, num sistema xOy uma reta pontilhada x = 2

O gráfico começa em x = - oo, assintótico ao eixo x (por baixo dele)

Para x = 0 ---> y = -1/2

Para x = -1 ----> y = - 1

Ai, a curva vai caindo, ficando assintótica à reta x = 2 (em baixo)

Para x > 2:

A curva começa assintótica ao eixo x = 2 (no alto)

Para x = 3 ----> y = 1

A curvau vai caindo, assintótica novamente ao eixo x e termina em x = + oo (acima dele)

Desenhe o gráfico

Oi Elcio

Esse comportamento quanto a reta imaginária eu tinha notado, e a esbocei em pontilhado justamente como você disse antes mesmo de saber se era verificado.

Wuanto as assíntotas, não me parece tão claro a sua existência, já que eu sei bem por cima o que são e que incluem uma noção de limite, que eu ainda não vi. Ainda estou em introdução ao Cálculo e limite é o próximo conteúdo.

Acredito que por enquanto bastaria eu dizer mesmo da forma como você disse.

Obrigada

Exatamente

Quando estudar limites, aí você entenderá bem.