geometria e trigonometria

Determine a área do triângulo ABC sabendo que:
- o ponto P(senθ, cos2θ) pertence a reta r de equação y + 17x - 9 = 0, sendo θ∈ ]0, pi/2[ o ângulo do vértice B medido em radianos;
- os pontos B e C são as intersecções da curva de equação y - x^4 + 3x^3 + 5x + 7 = 0 com a reta r no plano real;
- o ponto H(0, 9) sobre o lado BC é o pé da altura do triângulo ABC.

P(x, y) = P(senθ, cos2θ) -----> x = senθ ----> y = cos2θ = 1 - 2sen²θ

y + 17x - 9 = 0 ----> (1 - 2sen²θ) + 17senθ - 9 = 0 -----> 2sen²θ - 17senθ + 8 = 0

Raiz que atende -----> senθ = 1/2 ----> θ = 30º (0 < θ < pi/2)

y - x^4 + 3x^3 + 5x + 7 = 0 ----> (9 - 17x) - x^4 + 3x^3 + 5x + 7 = 0 ----> x^4 - 3x^3 + 12x - 16 = 0

Pesquisa de raízes racionais ----> x = ± 1, 2, 4, 8, 16

Testando, existem duas raízes reais ----> x = - 2 e x = 2

Para x = - 2 ----> y = 43 -----> B(-2, 43)
Para x = 2 ------> y = 25 ----> C (2, -25)

Equação da reta BC ----> y - 43 = [(43 + 25)/(-2 - 2)*(x + 2) ----> y - 43 = (-17)*(x + 2) ----> y = - 17x + 9

O ponto H(0, 9) pertence realmente à reta

A partir daqui vou apenas mostrar o caminho:

Calcule a equação da reta passando por H e perpendicular à reta BC (suporte da altura AH)

Desenhe uma reta AB fazendo 30º com BC.
Calcule a equação da reta AB
Encontre as coordenadas de A(xA, yA), ponto de encontro de AB com BC
Calcule a altura AH e a base BC

S = BC*AH/2

Elcioschin muito obrigado pela ajuda.

Elcioschin escreveu:A partir daqui vou apenas mostrar o caminho:

Calcule a equação da reta passando por H e perpendicular à reta BC (suporte da altura AH)

Desenhe uma reta AB fazendo 30º com BC.
Calcule a equação da reta AB
Encontre as coordenadas de A(xA, yA), ponto de encontro de AB com BC
Calcule a altura AH e a base BC

Se H é o pé da altura de ABC, AH não seria perpendicular à BC? Ou seja, no triângulo ABH: tgθ = AH/BH. Seria mais simples desta forma.

Mauk

Acho que não seria não:

1) Não se conhece ainda as coordenadas do vértice A.

2) O ângulo A^BH não é θ calculado no início da minha solução. Não conhecemos ainda o ângulo A^BH; logo seria correto apenas escrever tg(A^BH) = AH/BH onde temos duas incógnitas: A^BH e AH

Elcioschin escreveu:2) O ângulo A^BH não é θ calculado no início da minha solução. Não conhecemos ainda o ângulo A^BH; logo seria correto apenas escrever tg(A^BH) = AH/BH onde temos duas incógnitas: A^BH e AH

Então devo estar interpretando esta parte de forma errada:

mauk03 escreveu:sendo θ∈ ]0, pi/2[ o ângulo do vértice B medido em radianos;

Então por "ângulo do vértice" não significa que este ângulo se localize entre AB e BC? É uma dúvida boba, porém não me lembro muito bem de todos os axiomas da geometria euclidiana.

Consegui visualizar a seguinte imagem:

Tens razão meu caro: isto me passou desapercebido.

Aí a solução é bem mais fácil, como você mostrou

BC² = (xC - xB)² + (yC - yB)² ----> Calcula-se BC

BH = BC/2

tgθ = AH/BH -----> AH = BH.tg30º ----> AH = (BC/2)*\/3