apostila eureka 1 - segundo nivel

A equação do 2°. grau ax² + bx – 3 = 0 tem –1 como uma de suas raízes. Sabendo que os coeficientes a e b são números primos positivos, podemos afirmar que a²+ b² é igual a:

a) 29 b) 89 c) 17 d) 13 e) 53

Resposta: a

A minha pergunta é a seguinte:
Por soma e produto das raizes descobri que o valor de a= 3
Sendo assim. substitui o valor de a na equação:
3x² + bx² -3 = 0
Delta = b² - 4ac
Delta = b² -4. 3 . (-3)
Delta = b² + 36

X = (-b (+/-) VDelta)/2a
x = (-b (+/-) Vb²+36)/3

Por favor, entendam que V= a raiz quadrada e (+/-) é mais ou menos; como faço pra tirar o b²+36 de dentro da raiz?

Muito obrigada desde já, abraços
Larissa

Olá larissagal, seja bem-vinda. Como vc chegou ao valor de a=3? Porque só tem o valor de uma raíz..
Como -1 é raíz P(-1) = 0
a - b - 3 = 0
a = b+ 3
(b+3)x² + bx - 3 = 0
∆ = b² +12(b+3)
∆ = b² + 12b + 36
∆ = (b-6)² , como delta é quadrado perfeito basta analisar os valores primos de b, sendo que a e b são primos positivos.
se b= 2 ,a = 2+3 = 5 ok
se b = 3, a = (3+3) nao é primo
se b= 5 , a = 3+5 nao é primo
se b = 7, a = 3+7 nao é primo
Veja que para qualquer b diferente de 2 e primo, a sempre é composto pois a = ímpar + ímpar = par = 2k
Logo, b = 2 e a = 5 é solução única
a² + b² = 29

Luck... muito obrigada, entendi o exercício da forma que você fez.
Eu tinha achado o 3 por produto: x1*x2=c/a
Mas deixa eu te perguntar uma coisa que está me incomodando na forma como eu fiz, realmente não tem jeito de tirar aquele 36+b² de dentro da raiz né?

Abraços

larissagall escreveu:Luck... muito obrigada, entendi o exercício da forma que você fez.
Eu tinha achado o 3 por produto: x1*x2=c/a
Mas deixa eu te perguntar uma coisa que está me incomodando na forma como eu fiz, realmente não tem jeito de tirar aquele 36+b² de dentro da raiz né?

Abraços

Vc errou em algum cálculo, nao tem como achar 3 apenas por soma e produto:
S= -b/a
x1 + x2 = -b/a --> x1 -1 = -b/a (I)
P = c/a
x1x2 = -3/a --> x1 = 3/a (II)
(II) em (I):
3/a - 1 = -b/a
3 - a = -b
a = b+3 ( que chegaria nisso apenas fazendo P(-1) = 0 ...)