Seja N...
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Seja N...
por 2k3d Seg 25 Fev 2013, 18:12
Seja N = (3 elevado a x)*(5 elevado a y) . Se dividirmos N por 15 e por 27 , o número de divisores diminui de 6 e 9 respectivamente . Determine N.
OBS: não sei a resposta.
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Re: Seja N...
por Elcioschin Seg 25 Fev 2013, 18:44
N = (3^x)*(5^y) ----> Número de divisores de N ---> n(N) = (x + 1)*(y + 1) ----> n(N) = xy + x + y + 1
N/15 = (3^x).(5^y)/3.5 ----> N/15 = [3^(x - 1)]*[5^(y - 1)] ----> n(N/15) = xy
N/27 = (3^x).(5^y)/3³ ----> N/27 = [3^(x - 3)]*(5^y) ----> n(N/27) = (x - 2)*(y + 1) ----> n(N/27) = xy + x - 2y - 2
n(N) - n(N/15) = 6 ----> xy + x + y + 1 - xy = 6 -----> x + y = 5 ----> I
n(N) - n(N/27) = 9 -----> xy + x + y + 1 - (xy + x - 2y - 2) = 9 ----> 3y = 6 ----> y = 2 ----> x = 3
N = (3^3)*(5^2) -----> N = 675
N/15 = (3^x).(5^y)/3.5 ----> N/15 = [3^(x - 1)]*[5^(y - 1)] ----> n(N/15) = xy
N/27 = (3^x).(5^y)/3³ ----> N/27 = [3^(x - 3)]*(5^y) ----> n(N/27) = (x - 2)*(y + 1) ----> n(N/27) = xy + x - 2y - 2
n(N) - n(N/15) = 6 ----> xy + x + y + 1 - xy = 6 -----> x + y = 5 ----> I
n(N) - n(N/27) = 9 -----> xy + x + y + 1 - (xy + x - 2y - 2) = 9 ----> 3y = 6 ----> y = 2 ----> x = 3
N = (3^3)*(5^2) -----> N = 675
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Re: Seja N...
por soniky Seg 25 Fev 2013, 21:16
Élcioschin, o número de divisores totais não seria 2.(x+1).(y+1)? Pois quando fazemos, por exemplo, (x+1).(y+1), não estamos considerando apenas os divisores positivos? Estou pensando assim pois no enunciado ele diz "número de divisores", não "números de divisores positivos".
Então o n(N/15) seria 2xy e o n(N/27) seria 2xy + 2x - 4y - 4?
Então o n(N/15) seria 2xy e o n(N/27) seria 2xy + 2x - 4y - 4?
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Re: Seja N...
por Elcioschin Ter 26 Fev 2013, 12:12
soniky
Concordo com sua interpretação.
Entretanto, multiplicando por 2 as parcelas n(N), n(N/15) e n(N/27) e montando-se o sistema de equações obtém-se y = 1/2 e x = 3/2, o que é impossível, já que x, y são inteiros. Neste caso o problema não teria solução.
Assim, acho que o enunciado é falho: onde ele diz "número de divisores" deveria ter dito "número de divisores positivos".
Concordo com sua interpretação.
Entretanto, multiplicando por 2 as parcelas n(N), n(N/15) e n(N/27) e montando-se o sistema de equações obtém-se y = 1/2 e x = 3/2, o que é impossível, já que x, y são inteiros. Neste caso o problema não teria solução.
Assim, acho que o enunciado é falho: onde ele diz "número de divisores" deveria ter dito "número de divisores positivos".
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