epcar (parábola)

Considere a parábola que representa a igualdade
y = ax^2 + bx + c , de eixo de simetria PV , e o quadrado
ABCD indicados na figura abaixo.Sabendo-se que os pontos A e B pertencem à parábola e ao
eixo Ox e sendo V o ponto onde a parábola tangencia o
segmento DC , o valor de  = b^2 − 4ac é

a) 4 c) 16
b) 8 d) 20


Questão movida para -> Ensino Médio -> Geometria Analítica

Raízes: A e B

xV = (A + B)/2 ----> yV = B - A (lado do quadrado)

y = a*(x - A)*(x - B) ---> yV = a*(xV - A)*(xV - B) ---> B - A = a*[(A + B)/2 - A]*[(A + B)/2 - B] --->

B - A = a*[(B - A)/2]*[(A - B)/2] ----> B - A = - a*(B - A)²/4 ----> a*(B - A) = - 4 ----> a = - 4/(B - A)

A + B = - b/a ----> A + B = -b/[-4/(B - A)] ----> b = (A + B) ----> b = (A + B)/(B - A)

A*B = c/a ---> A*B = c/[-4/(B - A)] ----> c = - 4*A*B/(B - A)

Por favor confira as minhas contas e continue

Se ABCD é um quadrado, AB=PV.

desculpem-me ,porém,não consigo compreender essa questão
eu entendo que a diferença entre raízes da parábola é igual ao lado do quadrado ABCD
assim,

=
e como a parábola e voltada para baixo a e negativo.
a minha dúvida e a seguinte:
eu não entendi como é igual ao lado do quadrado
para mim o eixo de simetria e a média aritmética das raízes assim como o
então o seria igual ao lado de ABCD.
então a minha dúvida está ae sobre o .
segue um esboço somente para melhorar a visualização entre: o e o .


OBS:desculpem-me mas eu não sei usar o latex e fiz adaptações como b(ao quadrado)para b.b,porém, não acho que vá interferir em nada.
eu acompanho o fórum há algum tempo mas só agora tomei coragem e me cadastrei para sanar essa e dúvidas vindouras
obrigado desde já .

eu não entendi como é igual ao lado do quadrado

isso está expresso na figura fornecida com a questão e que faz parte dela.


PS: seja bem vindo.

campbell345

1) O seu desenho não é o da questão, pois a parábola deveria estar com a concavidade voltada para baixo

2) O seu conceiro geral sobre xV e yV está correto. No entanto, no caso particular desta questão o enunciado afirma que a figura ABCD é um quadrado. Disso se conclui que:

a) AB = CD = AD = BC = PV ----> acontece que yV é a ordenada do vértice ----> yV = PV ----> yV = lado do quadrado

muito obrigado pelos esclarecimentos Elcioschin e Euclides


  agora eu acho que entendi
se ABCD é um quadrado e PV é igual ao lado desse mesmo quadrado
necessariamente o Yv=Xv que por sua vez e igual ao lado.

  de outro modo, Yv=Xv pelo enunciado afirmar que ABCD é um quadrado+PV igual ao lado do quadrado

mais uma vez obrigado pela ajuda pois me ajudou bastante

Outra forma de resolver:

Chamemos a abscissa do ponto A de p e o lado do quadrado de l, então:

Raízes: x₁ = p, x₂ = p + l

y = ax² + bx + c
y = a(x - x₁)(x - x₂) ---> y = a(x - p)(x - p - l)

V: (p + l/2, l):
l = a(p + l/2 - p)(p + l/2 - p - l) ---> l = a(l/2)(-l/2) ---> l = -4/a

Y_v = - (b² - 4ac)/4a = l ---> - (b² - 4ac)/4a = -4/a ---> b² - 4ac = 16

ricardo ferrari escreveu:

Considere a parábola que representa a igualdade
y = ax^2 + bx + c , de eixo de simetria PV , e o quadrado
ABCD indicados na figura abaixo.Sabendo-se que os pontos A e B pertencem à parábola e ao
eixo Ox e sendo V o ponto onde a parábola tangencia o
segmento DC , o valor de = b^2 − 4ac é

a) 4 c) 16
b) 8 d) 20


Questão movida para -> Ensino Médio -> Geometria Analítica

Você poderia fazer assim:

Sabendo que o ponto máximo da parábola é Yv, calculado por -∆/4a, tu sabe que a altura do quadrado vai ter essa dimensão. Sabendo também que o Xv é a média das raízes, podemos encontrar o valor do mesmo e igualar ao Yv...

1) Por análise do desenho, temos que (B-A)/2= Xv;

2) Por Bhaskara, x=(-b±√∆)/2a. Onde temos que a maior raiz será (-b-√∆)/2a, já que o "a" é negativo pela concavidade da parábola;

3) Fazendo o cálculo do Xv:

Xv = [(-b-√∆)-(-b+√∆)]/2a
Xv= -2√∆/2a => Xv= -√∆/a

4) Igualando Yv=Xv:

(-∆/4a)² = (-√∆/a)²

∆/16= 1 .: ∆=16