Equações Algébricas

por yelrlx Sáb 08 Dez 2012, 15:31

Resolva a equação $x^{5}-x^{3}+2x^{2}-2=0, \textup{ em C.}$

Spoiler:

Eu cheguei até aqui:
$\\ P(x)=x^{5}-x^{3}+2x^{2}-2=x^3(x^{2}-1)+2(x^{2}-1)=(x^{2}-1)(x^{3}+2) \\ Assim, \;\ P(x)=0\Leftrightarrow (x^{2}-1)(x^{3}+2)=0\Leftrightarrow x^{2}=1 \;\ ou \;\ x^3=-2 \\x^{2}=1\Leftrightarrow x=1\;\ ou \;\ x=-1 \;\ \\x^3=-2$

Eu precisaria usar a Segunda Fórmula de Moivre ?

por **Leonardo Sueiro** Sáb 08 Dez 2012, 15:42

Não.

Lembre-se que, quando você usa Moivre, você obtem complexos que estão situados em vértices de polígonos regulares.

Se você pegar a raiz terceira de -2 você obtém -∛2. Veja que esse é um número real, portanto está contido no eixo x do plano de Gauss. Como temos 3 raízes, basta fazer 360/3 e descobrir a variação do arco entre os complexos(também podemos imaginar os complexos situados em uma circunferència cujo raio é o módulo deles).

Variação do arco = 120º.

O primeiro complexo que achamos tem argumento igual a 180º.
O segundo terá 180 + 120 = 300º
O terceiro terá 180 - 120 = 60º

Z = ∛2cisθ

Z2 = ∛2cis300º
Z3 = ∛2cis60º