focos da elipse

(UFPB) Sejam K um número real positivo e F1 (3,0) e F2(-3,0) os focos da elipse de equação 16x²+ky²=16k. Sabendo-se que P é um ponto dessa elipse, cuja distância ao foco F1 mede 4 unidades de comprimento, calcule a distância de P ao foco F2.

temos:

F1( 3, 0 ) e F2( - 3, 0 )

distância interfocal -> 2c = 6 -> c = 3

16x² + ky² = 16k

( 16x²/16k ) + ( ky²/16k ) = 1

( x²/k ) + ( y²/16 ) = 1 -> ( x²/a² ) + ( y²/16 ) = 1 -> b² = 16

a² = k

a² = b² + c² -> a² = 16 + 9 -> a² = 25 -> k = 25

equação da elipse -> ( x²/25 ) + ( y²/16 ) = 1

Seja o ponto P( x, y )

-distância de P a F1 -> 4

- seja a circunferência de centro em F1 e raio = 4:

( x - 3 )² + y² = 16

x² - 6x + 9 + y² = 16

x² + y² - 6x - 7 = 0

-interseção da circunferência com a elipse:

( y²/16 ) = 1 - ( x²/25 )

( y²/16 ) = [ ( 25 - x² )/25

y² = [ 16*(25 - x² )/25 ]

x² + [ 16*( 25 - x² )/25 ] - 6x - 7 = 0

25x² + 400 - 16x² - 150x - 175 = 0

9x² -150x + 225 = 0

3x² - 50x + 75 = 0

raízes: x = 5/3 ou x = 15 ( não convém )

( 5/3 )² + y² - 6*( 5/3 ) - 7 = 0

y² = 128/9

y = ( 8*\/2 )/3


P( 5/3 , 8*\/2/3 )

d²( P,F1 )= [ (5/3) - 3 ]² + [ ( 8*\/2)/3 ]² = 144/9

d(P, F1) = 12/3 = 4

d²( P, F2) = [ (5/3) + 3 ]² + [ (8*\/2)/3 ]² =

= 324/9

d(P,F2) = 18/3 = 6

testando a solução: d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

a = 5 -> 2a = 10

4 + 6 = 10