(ITA - 96) Geometria Espacial

por rodrigo moraes Ter 06 Nov 2012, 14:28

A aresta de um cubo mede x cm. A razão
entre o volume e a área total do poliedro cujos
vértices são os centros das faces do cubo será:

a) (√3/9)x cm
b) (√3/18)x cm
c) (√3/6)x cm
d) (√3/3)x cm
e) (√3/2)x cm

alternativa correta letra [b] !

por Rafael113 Ter 06 Nov 2012, 20:08

Podemos dividir o poliedro em 2 pirâmides de base quadrangular.
A aresta da base (a) é dada por:

$a² = \left (\frac{x}{2} \right )^{2}+\left (\frac{x}{2} \right )^{2}$

$a = x\: \frac{\sqrt{2}}{2}$

Perceba que a altura de cada pirâmide é $\frac{x}{2}$ :
$V_{total}= 2*\frac{1}{3}*\left ( \frac{x\sqrt{2}}2{} \right )^{2}*\frac{x}{2}$

$V_{total}=\frac{2}{3}*\frac{x^2}{2}*\frac{x}{2}$

$V_{total}=\frac{x^3}{6}$

Agora, perceba que cada face do octaedro é um triângulo equilátero de aresta = $\frac{x\sqrt{2}}{2}$

$S_{lateral\: total}=8.\frac{(\frac{x\sqrt{2}}{2})^{2}*\sqrt{3}}{4}$

$S_{\: lateral\: total}= x^{2}\sqrt{3}$

$P = \frac{\frac{x^{3}}{6}}{x^{2}\sqrt{3}}$

$P = \frac{x}{6\sqrt{3}}= \frac{x\sqrt{3}}{18}$

por rodrigo moraes Ter 06 Nov 2012, 21:05

mt bom rafael... estou grato companheiro! cheers

resolução mt boa.

por Rafael113 Ter 06 Nov 2012, 21:08

Não há de quê Smile

por Douglas Mesadri Gewehr Ter 07 Out 2014, 18:33

Rafael113 escreveu:

Podemos dividir o poliedro em 2 pirâmides de base quadrangular.
A aresta da base (a) é dada por:

$a² = \left (\frac{x}{2} \right )^{2}+\left (\frac{x}{2} \right )^{2}$

$a = x\: \frac{\sqrt{2}}{2}$

Perceba que a altura de cada pirâmide é $\frac{x}{2}$ :
$V_{total}= 2*\frac{1}{3}*\left ( \frac{x\sqrt{2}}2{} \right )^{2}*\frac{x}{2}$

$V_{total}=\frac{2}{3}*\frac{x^2}{2}*\frac{x}{2}$

$V_{total}=\frac{x^3}{6}$

Agora, perceba que cada face do octaedro é um triângulo equilátero de aresta = $\frac{x\sqrt{2}}{2}$

$S_{lateral\: total}=8.\frac{(\frac{x\sqrt{2}}{2})^{2}*\sqrt{3}}{4}$

$S_{\: lateral\: total}= x^{2}\sqrt{3}$

$P = \frac{\frac{x^{3}}{6}}{x^{2}\sqrt{3}}$

$P = \frac{x}{6\sqrt{3}}= \frac{x\sqrt{3}}{18}$

por rubia monteiro s... Qua 13 maio 2015, 22:13

Rafael113 escreveu:Não há de quê

só não entendi, qual a relação do 3 ^1/2 ?

por crupier Qui 03 Mar 2016, 19:41

Olá,entendi legal a resolução e tudo mais,mas tenho dificuldades para ''iniciar'' a resolução....Como ter a percepção de que o poliedro inscrito é um octaedro ''girado''? Eu estou ''boiando'' porque não estudei casos específicos de inscrição de sólidos ou essa questão dá para resolver normalmente só fazendo o desenho de acordo com o enunciado? Esse é meu problema..