quadrado perfeito

por Leandro! Sex 02 Nov 2012, 18:43

Demonstre que o número 11...1222...25 é um número quadrado perfeito. O número 1 se repete (n-1) vezes e o número 2 se repete n vezes.

por aprentice Sex 02 Nov 2012, 19:33

S = 11...122...25

S = 5 + 2*10 + 2*10² + ... + 2*10^n + 10^(n + 1) + ... + 10^(2n-1)

S = 5 + 2*10(10^n - 1)/9 + (10^(n+1))(10^(n - 1) - 1)/9
S = (45 + 2*10^(n+1) - 20 + 10^2n - 10^(n+1))/9
S = (25 + 10*10^n + 10^2n)/9
S = (5² + 2*5*10^n + (10^n)²)/3²
S = ((5 + 10^n)/3)² c.q.d

por Leandro! Sáb 03 Nov 2012, 08:56

aprentice, muito obrigado.

Mas não entendi a resolução. Que matéria devo estudar para saber resolver esse tipo de questão?

por Leandro! Dom 04 Nov 2012, 07:58

Estudando teoria dos números, eu aprendo resolver esses tipos de problemas?

por aprentice Dom 04 Nov 2012, 11:04

Sem dúvida.
Mas ai depende de você, teoria dos números é focado em tipos de problema bem especificos.No caso geral eu recomendaria estudar o básico (congruencias, representações e uma ou outra coisa).
As únicas ferramentas que eu usei foi o conhecimento da representação numérica em um sistema de bases (no caso, o decimal), a fórmula da progressão geométrica e um pouquinho de raciocinio lógico.