(UNICAMP) Equação polimonial
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(UNICAMP) Equação polimonial
por Bruno 30/11/2009, 2:15 pm
Dada a equação polinomial com coeficientes reais:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2+i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação
Bom, eu só consegui resolver a letra a), gostaria de ver a resolução da Letra B)
Respostas:
a) 5
b) 2+i, 2-i, 1
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2+i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação
Bom, eu só consegui resolver a letra a), gostaria de ver a resolução da Letra B)
Respostas:
a) 5
b) 2+i, 2-i, 1
Bruno- Iniciante
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Re: (UNICAMP) Equação polimonial
por Elcioschin 30/11/2009, 3:01 pm
x' = 2 + i é uma raiz ----> A outra raiz é x" = 2 - i (raiz conjugada)
(x - x')*(x - x") = [x - (2 + i)]*[x - (2 - i] = [(x - 2) + i]*[(x - 2) - i] =
= (x - 2)² - i² = x² - 4x + 5
x³ - 5x² + 9x - a = (x² - 4x + 5)*(x - k) ----> k á 3ª raiz
x³ - 5x² + 9x - a = x³ - (k + 4)*x² + (4k + 5)*x - 5k
Igualando termo a termo:
k + 4 = 5 -----> k = 1
4k + 5 = 9 ----> k = 1
a = 5k -----> a = 5
A 3ª raiz é k = 1
(x - x')*(x - x") = [x - (2 + i)]*[x - (2 - i] = [(x - 2) + i]*[(x - 2) - i] =
= (x - 2)² - i² = x² - 4x + 5
x³ - 5x² + 9x - a = (x² - 4x + 5)*(x - k) ----> k á 3ª raiz
x³ - 5x² + 9x - a = x³ - (k + 4)*x² + (4k + 5)*x - 5k
Igualando termo a termo:
k + 4 = 5 -----> k = 1
4k + 5 = 9 ----> k = 1
a = 5k -----> a = 5
A 3ª raiz é k = 1
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (UNICAMP) Equação polimonial
por Bruno 30/11/2009, 3:31 pm
Putz Elcioschin, esqueci da Raiz conjugada! Fui resolver e saiu um troço muito feio!
Depois que você matou a charada, acabei resolvendo de outra forma, que ao meu ver, usei menos contas:
O produto das raízes de uma equação do 3 grau é -d/a, dai acredito que ficou menos contas para fazer:
Depois que você matou a charada, acabei resolvendo de outra forma, que ao meu ver, usei menos contas:
O produto das raízes de uma equação do 3 grau é -d/a, dai acredito que ficou menos contas para fazer:
Bruno- Iniciante
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Re: (UNICAMP) Equação polimonial
por Elcioschin 30/11/2009, 3:43 pm
Bruno
Só não concordo com uma coisa:
Vc escreveu ----> x1*x2*x3 = 5
Como vc descobriu este 5, já que não foi dado no enunciado?
Aliás, o objetivo do item a) é justamente descobrir o valor de a
Assim, você partiu da resposta para poder calcular o resto.
Assim o caminho verdadeiro é o que eu mostrei.
Só não concordo com uma coisa:
Vc escreveu ----> x1*x2*x3 = 5
Como vc descobriu este 5, já que não foi dado no enunciado?
Aliás, o objetivo do item a) é justamente descobrir o valor de a
Assim, você partiu da resposta para poder calcular o resto.
Assim o caminho verdadeiro é o que eu mostrei.
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (UNICAMP) Equação polimonial
por Bruno 30/11/2009, 3:56 pm
Ah, minhas desculpas Elcioschin, você tem toda razão, perdoe minha falta de atenção!
É que eu já havia resolvido a letra a), por isso não postei a solução completa, apenas uma parte. De qualquer forma, tá aqui a resolução completa:
Letra a)
Aplicando Briot-Ruffini
Letra b)
Foi aqui que eu empaquei, depois que você mastigou o exercicio, eu só resolvi de outra forma:
Um abraço
É que eu já havia resolvido a letra a), por isso não postei a solução completa, apenas uma parte. De qualquer forma, tá aqui a resolução completa:
Letra a)
Aplicando Briot-Ruffini
Letra b)
Foi aqui que eu empaquei, depois que você mastigou o exercicio, eu só resolvi de outra forma:
Um abraço
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Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (UNICAMP) Equação polimonial
por soudapaz 30/11/2009, 6:39 pm
Dada a equação polinomial com coeficientes reais:
x³ - 5x² + 9x - a = 0
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2+i seja uma das raízes da referida equação.
Se 2 + i é raiz, então basta substituir em x esse valor
(2 + i)³ - 5(2 + i)² + 9(2 + i) = a
8 + 3.2²i + 3.2.i² + i³ - 5(4 + 4i + i²) + 18 + 9i = a
(8 - 6 - 20 + 5 + 18) + (12 - 1 - 20 + 9)i = a
5 = a
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação
x³ - 5x² + 9x - 5 = 0
Como a soma dos coeficientes é 0, então x = 1 é raiz.
x³ - 5x² + 9x - a = 0
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2+i seja uma das raízes da referida equação.
Se 2 + i é raiz, então basta substituir em x esse valor
(2 + i)³ - 5(2 + i)² + 9(2 + i) = a
8 + 3.2²i + 3.2.i² + i³ - 5(4 + 4i + i²) + 18 + 9i = a
(8 - 6 - 20 + 5 + 18) + (12 - 1 - 20 + 9)i = a
5 = a
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação
x³ - 5x² + 9x - 5 = 0
Como a soma dos coeficientes é 0, então x = 1 é raiz.
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