(UNICAMP) Equação Trigonométrica

por Convidado Sáb 17 Out 2015, 19:30

Considere a função:

(UNICAMP) Equação Trigonométrica 25ezokw

para x∈ℝ.

A) Calcule (UNICAMP) Equação Trigonométrica B7e53o

B) Resolva a equação: S(x) = 0, para x∈ [-2pi,2pi].

Desenvolvendo a letra A acha-se como resposta 4(1+√3).

Desenvolvendo a letra B acha-se: (UNICAMP) Equação Trigonométrica 6ixvn8

Desenvolvi esta questão tranquilamente, porém fiquei em dúvida sobre como achar as soluções no intervalo dado na letra B. Desculpe por esta dúvida extremamente simples, mas como posso achar as soluções no intervalo [-2pi,2pi] (No caso, meu problema está neste -2pi, nunca o vi em nenhuma questão antes.)?

por **Carlos Adir** Sáb 17 Out 2015, 20:08

Podemos ver que é uma PG:
$\\ \mathrm{S(x)=1+(2 \cdot sen \ x) + \left(2 \cdot sen \ x \right )^2 + \left(2 \cdot sen \ x \right )^3=} \\ \mathrm{=}\begin{cases}\mathrm{\dfrac{\left(2 sen \ x \right )^4 - 1}{sen \ x-1} \ \ \ se \ sen \ x \ne 1}\\ \mathrm{15 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ se \ sen \ x = 1 }\end{cases}$
Assim, queremos que o primeiro seja zero, ou seja, como 15 não é zero, então seno não é 1.
$\\ \mathrm{\dfrac{(2sen \ x)^4- 1}{sen \ x - 1} =0 \Rightarrow \left(2 sen \ x \right )^4 = 1 \Rightarrow |sen \ x | = \dfrac{1}{2}}$
Isto é, temos os valores:
$\\ \mathrm{x = \left\{\cdots , \ \dfrac{-5\pi}{6}, \ \dfrac{ -\pi}{6}, \ \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \cdots \right \}}$
Como nos pede de [-2pi, 2pi], então podemos ver que as soluções serão:
$\\ \mathrm{x = \left\{\dfrac{-11 \pi}{6}, \ \dfrac{-7 \pi}{6} , \ \dfrac{-5\pi}{6}, \ \dfrac{ -\pi}{6}, \ \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7 \pi}{6}, \ \dfrac{11 \pi}{6} \right \}}$
Podemos verificar, se seno for o negativo, temos:
$\\ \mathrm{sen \ x = \dfrac{-1}{2}} \\ \mathrm{S = 1 + 2 \cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)+4 \cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+8 \cdot \left(\dfrac{-1}{2} \right )^{3}} \\ \mathrm{S = 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0} \\ \mathrm{sen \ x = \dfrac{1}{2}} \\ \mathrm{S = 1 + 2 \left(\dfrac{1}{2} \right )+4 \left(\dfrac{1}{2} \right )^{2}+8\left(\dfrac{1}{8} \right )=4}$
Assim, somente quando seno for negativo que é possivel.

E então, isso só ocorre nos valores:
$\mathrm{\left\{\dfrac{-5 \pi}{6}, \ \dfrac{-\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}, \ \dfrac{11 \pi}{6} \right \}}$

Normalmente utilizamos a rotação dos angulos no sentido antihorário. Se temos o ângulo negativo, então o angulo "anda" no sentido anti-horário.

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