Cilindro

por Fernando_Vieira Qui 25 Out 2012, 18:42

Uma lata de forma cilíndrica, com tampa, deve ser construída com 60 cm² de folha de alumínio. Se r é o raio da base e h é a altura da lata que proporcionam o volume máximo, então o valor de r/h é

A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 1/3
E) 1/4

Gabarito:

Spoiler:

por **JoaoGabriel** Qui 25 Out 2012, 20:00

Pessoal, gostaria da opinião de vocês para esta questão e minha tentativa: viajei demais ou será este o caminho? haha

Definindo a expressão para o cálculo da área:

$\\A = 2A_b + A_l \therefore A = 2\pi r^2 + 2\pi rh\\A = 2\pi r(r + h)$

Substituindo o dado:

$\\60= 2\pi r(r + h)\to r^2 + rh = \frac {30}{\pi}\\h = \frac{30}{\pi r} -r$

Calculando o volume:

$\\V = \pi r^2h\\\\V = \pi r^2 (\frac{30}{\pi r} -r)\\\\V = 30r - \pi r ^3 = r(30 - \pi r^2)$

Precisamos agora determinar o máximo desta função, que será quando o a derivada dx se anular:

$\\f(r) = -\pi r^3 + 30r\to f'(r) = 0\\\\ -3\pi r^2 + 30 = 0 \therefore -\pi r^2+ 10 = 0 \to r = \sqrt{\frac{\10}{\pi}}$

Aí é só substituir na relação entre h e r e fazer a razão.

por Fernando_Vieira Qui 25 Out 2012, 20:40

Só fazendo uma correção: $Cilindro Gif$ .
Pelo que eu vi parece que a resolução está correta, fiz as contas em uma calculadora científica e o resultado confere com o gabarito.
Mas será que não tem outro jeito de fazer essa questão sem usar cálculo? Como essa questão é da UFPI (eles provavelmente não devem cobrar cálculo nas provas) eu acho que deve ter outro jeito...

por **ivomilton** Qui 25 Out 2012, 20:42

Boa noite, João Gabriel.

Eu havia feito seguindo esse mesmo seu raciocínio; só não sabia se poderia usar derivadas (penso que deve existir algum outro modo de se encontrar o volume máximo).

Em seu último passo, o amigo cometeu um pequeno deslise:

-∏r² + 10 = 0 → ∏r² = 10 → r² = 10/∏ → r = √(10/∏)

h = (30/∏r) - r = (30 - ∏r²)/∏r

Fazendo na fórmula supra de "h", r = √(10/∏),vem:

h = 2√(10/∏)

Finalmente, chegamos a:

r/h = √(10/∏) / 2√(10/∏)
r/h = 1/2

Alternativa (c)

Um abraço.

por **JoaoGabriel** Qui 25 Out 2012, 21:20

Tópico editado, cometi um pequeno erro de digitação Very Happy

HAHAHA

Enfim, também achei estranho ter de usar derivadas para a resolução, sendo uma questão de vestibular comum.

Vou pensar mais a respeito.

por **Medeiros** Qui 25 Out 2012, 22:41

Eu nem faria contas.
As dimensões da lata estão limitadas pelo tamanho da chapa.
Sabemos que para um dado perímetro de um quadrilátero, a maior área é a de um quadrado. Girando esse quadrado obtemos um cilindro. Logo,
D = h ----> 2r = h ----> r/h = 1/2

por **ivomilton** Qui 25 Out 2012, 23:03

Fernando_Vieira escreveu:Só fazendo uma correção: $Cilindro Gif$ .
Pelo que eu vi parece que a resolução está correta, fiz as contas em uma calculadora científica e o resultado confere com o gabarito.
Mas será que não tem outro jeito de fazer essa questão sem usar cálculo? Como essa questão é da UFPI (eles provavelmente não devem cobrar cálculo nas provas) eu acho que deve ter outro jeito...

Boa noite!

Pois é, Fernando, como o Medeiros (mais abaixo) postou, até que a solução dessa questão era bem simples, mas acontece que na hora certas visualizações não nos vem à memória. E assim, o Medeiros acabou percebendo que a solução era tão simples, que até poderíamos dizer, dispensava cálculos: dava pararesolver "de cabeça"!

Vivendo e aprendendo...

Um abraço.

por Fernando_Vieira Sex 26 Out 2012, 11:27

Medeiros, se fizermos como você disse e considerarmos que o maior volume se dá quando a chapa for quadrada, temos:

$Cilindro Gif$

$Cilindro Gif$ Assim teremos que a razão r/h = 1/2 como previsto.

Porém, ao calcularmos a área desse novo cilindro, temos:

$Cilindro Gif.latex?A_{CILINDRO}=2.A_{BASE}+A_{LATERAL}=2$

$Cilindro Gif$

A nova área excede em muito os 60 cm² da chapa disponíveis para construir o cilindro, o que é um absurdo! Posso estar enganado, mas acho que a solução não se trata de girar um polígono...

P.S.: Confiram as contas, posso ter me equivocado na resolução Neutral

por **ivomilton** Sex 26 Out 2012, 12:41

Boa tarde. Fernando.

Sua solução/averiguação está correta.
Concordei com o Medeiros sem fazer a necessária conferência.
Que bom que você decidiu verificar!

Um abraço.

por **JoaoGabriel** Sex 26 Out 2012, 14:32

E agora? hahahahaha

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