Equações Polinomiais - Raízes complexas

por PaulaBP12 Dom 14 Out 2012, 19:48

O polinômio x² - 6x + 25 divide s(x) = x^4 + px² + qx + r, sendo p, q e r coeficientes reais. Sabendo que s(x) não possui raízes reais:
a) Determine o intervalo de valores que p pode assumir;
b) Expresse r e q em função de p.

Gabarito:
a) p > -2
b) r = 25p + 275; q = 94 - 6p

Me ajudem, por favor?
Obrigadaa (:

por **Elcioschin** Dom 14 Out 2012, 21:21

Divida S(x) por (x² - 6x + 25) pelo método da chave

Você deverá obter o resto (6p + q - 84)*x + (r - 25p - 275)

Iguale a 0 cada parcela:

6p + q - 84 = 0 -----> q = 84 - 6p ----> Gabarito está errado

r - 25p - 275 = 0 ----> r = 25p + 275 -----> Confere com gabarito

Não tive tempo para tentar descobrir o intervalo de p

por aprentice Dom 14 Out 2012, 21:53

s(x) = x^4 + px² + qx + r

(x² - 6x + 25)|s(x)
Segue:

x² - 6x + 25 ≡ 0
x² ≡ 6x - 25
x^4 ≡ 36x² - 300x + 625
x^4 ≡ 36(6x - 25) - 300x + 625 ≡ -84x -275

x^4 + px² + qx + r ≡ (-84x -275) + p(6x - 25) + qx + r ≡ x(6p + q - 84) + (r - 275 - 25p)

6p + q - 84 = 0 => q = 84 - 6p
r - 275 - 25p = 0 => r = 25p + 275
Então:
s(x) = x^4 + px² + (84 - 6p)x + (25p + 275)
Voltando a (x² - 6x + 25)|s(x):
s(x) = (x² - 6x + 25)*(x - (a + bi))(x - (a - bi))
s(x) = x^4 + x³(-6-2a) + x²(25+(a² + b²)+12a) + x(-6(a² + b²)-50a) + 25(a² + b²)
Por identidade:
-6-2a = 0 => a = -3
25+a²+b²+12a = p => 25+9+b²-36=p => b² = p+2
b é real diferente de 0, segue: p+2 > 0 => p > -2.