(CN - 1999) - Pentadecágono

por **raimundo pereira** Seg 24 Set 2012, 18:41

Em uma circunferência de raio R está escrito um pentadecágono regular P. Coloque (V) para verdadeiro ou (F) para falso nas afirmativas abaixo.

( ) P tem diagonal que mede 2R.

( ) P tem diagonal que mede RV2

( ) P tem diagonal que mede RV3
___________________________________
( ) P tem diagonal que mede R/2*V(10 - 2V5)

Assinale a alternativa correta.

a) V,V,F,F
b) F,V,V,F
c) F,F,V,V
d) V,V,V,F
e) V,V,V,V

Gab: LETRA D

por **raimundo pereira** Ter 25 Set 2012, 22:07

Não consegui fazer o desenho do pentadecágono no geogebra.
Gostaria que algum colega mais habilidoso postasse esse desenho , mostrando as diagonais que partem de um mesmo vértice .

Att

a figurqa

por **Medeiros** Qua 26 Set 2012, 01:27

( ) P tem diagonal que mede 2R.

( ) P tem diagonal que mede RV2

( ) P tem diagonal que mede RV3
___________________________________
( ) P tem diagonal que mede R/2*V(10 - 2V5)

Assinale a alternativa correta.

a) V,V,F,F
b) F,V,V,F
c) F,F,V,V
d) V,V,V,F
e) V,V,V,V

Gab: LETRA D

Raimundo,
olhando superficialmente me parece que, na melhor das hipóteses, a única alternativa passível de estar correta é a C. Vejamos.

( ) P tem diagonal que mede 2R. ---> NÃO.
Sendo R o raio da circunferência onde P está inscrito, uma diagonal de 2R deve obrigatoriamente deve passar pelo centro porque o diâmetro é a maior medida dentro da circunferência. Porém devido ao nº ímpar de lados (15), não há vértices opostos pelo centro -- saindo de um vértice e passando pelo centro atingimos o lado oposto na sua metade.

( ) P tem diagonal que mede RV2 ---> NÃO.
R√2 é a diagonal de um quadrado de lado R. Para existir tal diagonal em P, os respectivos vértices devem estar separados por um ângulo central de 90º, ou seja, 1/4 do círculo. Não obstante, 15÷4 não resulta um nº inteiro de lados.

( ) P tem diagonal que mede RV3 ---> SIM.
Seja t o ângulo central dessa diagonal. Pela lei dos cossenos,
(R√3)² = R² + R² - 2.R.R.cos(t)
cos(t) = -1/2 -----> t = 120º
Portanto, t vale 1/3 do círculo, no qual devemos ter 1/3 dos lados ----> (1/3).15 = 5 lados.

( ) P tem diagonal que mede R/2*V(10 - 2V5) ---> desculpe, estou com preguiça mental e não pensei no item.

De qualquer forma, até agora temos resposta com a série: FFV?

Abraço.

por **raimundo pereira** Qua 26 Set 2012, 10:13

Valeu Medeiros . Obrigado
Estou de pleno acordo com a sua resolução .
Sobre a última alternativa ,lembrava vagamente de já ter visto esta fórmula. Consultando o livro encontrei ,é a fórmula do lado de um pentágono inscrito num círculo. Para saber se é ou não valor de uma diagonal teríamos que saber o lado do pentadecágono?

Obs: Quando você tiver mais tempo gostaria que você desse sua opinião sobre o problema do trapézio que postei neste fórum pedindo opiniões, e ainda não recebi nenhuma . grato

por **Medeiros** Qua 26 Set 2012, 10:56

Bom dia, Raimundo.
Eu também lembrava já ter visto essa fórmula em algum canto (se é que lembrei corretamente) mas não associava a quê e nem fui procurar.
Mas se esse é o lado do pentágono, então aí cabem 3 lados do pentadecágono (15/5 = 3), logo é uma das diagonais deste.
Resumindo: FFVV ....... alternativa C.

Para responder sem calculadora deveríamos saber ou que tal fórmula é o lado do pentágono ou que cos72º=(√5-1)/4 -- que é obtido aplicando a lei dos cossenos àquela fórmula.

Quanto ao trapézio, é o dos ângulos x? Se for, achei-o difícil (logo, demorado) e não pensei a respeito.

ABraço.