Geometria - Razão entre áreas

Na figura abaixo, o triângulo ABC é subdividido em triângulos menores, pelos segmentos AQ, BP e CM, sendo "O" o ponto de encontre destes. Se os triângulos AOM, AOP, BOQ e COQ possuem áreas iguaisa 6cm², 4cm², 4cm² e 2cm², respectivamente, determinar a área do triângulo ABC.

a) 24 cm²
b) 20 cm²
c) 18cm²
d) 26 cm²
e) 28 cm²

Gabarito: A) 24 cm²

Na sequência, transcrevo a resolução do livro, a qual não entendi. Sei que triângulos que têm a mesma altura e bases na mesma reta suporte, têm razão entre suas áreas proporcional a razão das medidas das bases.


Resolução:

Sabemos que a/m = 6/n e que 4/m = (6+b)/n logo a/6 = 4 / (6+n) -> ????
Mas, sabemos também que 10 + b = 2 (6+a). ????????????
Logo, 10 + b = 12 + 2a ---> b = 2 + 2a
Então a/6 = 4 / (8+2a) , portanto , a / 6 = 2/(4+a)

a² + 4a - 12 = 0

a= 2 e b = 6

Então a área do triângulo ABC é 24 cm².

Obs.: agradeço a indicação de uma fonte que trate dessa matéria.

Att,

Olá Raimundo, não consegui explicar suas dúvidas, porém resolvi baseado na sua resolução de um exercício semelhante.

(A + 2 + 4)/2 = (B + 4 + 6)/4 → A + 6 = (B + 10)/2 → B = 2A + 2 (I)

(A + 4 + 6)/6 = (2 + 4 + B)/B → (A + 10)/6 = (6 + B)/B → AB + 4B = 36 (II)

Substituindo (I) em (II), temos:

A(2A + 2) + 4(2A + 2) = 36 → 2A² + 10A -28 = 0 → A² + 5A - 14 = 0
→ A = 2 ou A = -7 (Não serve)
Logo, B = 2.2 + 2 = 6

S∆ABC = 4 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 = 24 cm²

Valeu Fernando. Obrigado .

Nessa o SKATE deslizou bonito na rampa.

Att

Olá, não consegui entender o porquê das relações:
(A + 2 + 4)/2 = (B + 4 + 6)/4
(A + 4 + 6)/6 = (2 + 4 + B)/B



Será que alguém poderia me explicar?

Olá prataleticia,
Você dizer como entendi .
Teorema: triângulos com mesma altura e bases na mesma reta suporte, tem áreas proporcionais as suas bases.
Veja agora o triângulo COB, formando os triângulos  BOQ e COQ, pelo dito teorema suas áreas são porporcionais CQ e BQ, ou seja: 2/CQ e 4/BQ.
Veja agora o triângulo ACQ, pelo dito terorema temos que 
(4+A+2)/CQ  , mas, também temos que  2/CQ----então (4+A+2)/2. 
Tem que ser feito para os outros triângulos  de modo a formar um sistema  com as duas incógnitas.

att