Pequena Dúvida...

por **alissonsep** Qua 08 Ago 2012, 21:01

Pessoal gostaria de saber se o processo destacado em vermelho esta correto ? E o resto do cálculo esta correto ?

$\int (x^3+3)^\frac{1}{4}\,.\, x^5\;dx\;\;\to\;u=x^3+3\,\to\;x^3=u-3\;\;\\du=3x^2dx\;\to\;\;\;\;\;{\color{Red} dx=\frac{1}{3x^2}\,du}\\\\ \int (x^3+3)^\frac{1}{4}\,.\, x^5\;dx=\int (x^3+3)^\frac{1}{4}\,.\, x^3.x^2\;dx=\int (u)^\frac{1}{4}\,.\, (u-3).x^2.\;\frac{1}{3x^2}\,du\\\\ \int (u)^\frac{1}{4}\,.\, (u-3).x^2.\;dx=\frac{1}{3x^2}\,du=\int (u)^\frac{1}{4}\,.\, (u-3).\;\frac{1}{3}\,du=\;\frac{1}{3}\int (u^\frac{5}{4}-3u^\frac{1}{4})du\\\\ \frac{1}{3}\int (u^\frac{5}{4}-3u^\frac{1}{4})du=\frac{1}{3}\left [ \frac{4}{9}u^\frac{9}{4}-\frac{12}{5}u^\frac{5}{4} \right ]+C=\frac{4}{27}(x^3+3)^\frac{9}{4}-\frac{4}{5}(x^3+3)^\frac{5}{4}+C\\\\ \int (x^3+3)^\frac{1}{4}\,.\, x^5\;dx=\frac{1}{3}\int (u^\frac{5}{4}-3u^\frac{1}{4})du=\frac{4}{27}(x^3+3)^\frac{9}{4}-\frac{4}{5}(x^3+3)^\frac{5}{4}+C$

Agradeço a ajuda de sempre aos amigos.

Obrigado.

por **Al.Henrique** Qua 08 Ago 2012, 22:36

Alisson,

Seus cálculos estão corretíssimos. Como também o de vermelho.

Gostei muito da sua jogada do x á quinta, que você transformou em x³.x².

Cortou o x² e o x³ você ja tinha da relação com u.

Ainda quero chegar nesse nível na integral Very Happy

por **Iago6** Qua 08 Ago 2012, 23:44

Só para esclarecer um pouco mais:

$u = x^3 + 3 \\\\\ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3+3)= 3x^2 \\\\\ \frac{du}{dx} = 3x^2 \\\\\ \boxed {dx= {\color{Red} \frac{du}{3x^2}}}$