Lógica
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Lógica
por marciomolusco Sex 03 Ago 2012, 10:54
Considere a seqüência (Sn) dada por (S(n+1))=(Sn)^2-2, para qualquer n, So=4
Mostre que Sn=(2+sqrt3)^{2^n}+(2-sqrt3)^{2^n}
Mostre que Sn=(2+sqrt3)^{2^n}+(2-sqrt3)^{2^n}
marciomolusco- Padawan
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Re: Lógica
por Robson Jr. Sáb 04 Ago 2012, 13:06
Para n = 0, a expressão é válida:
^{2^0}+(2-\sqrt{3})^{2^0}=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4 "\small S_0=4;S_0=(2+\sqrt{3})^{2^0}+(2-\sqrt{3})^{2^0}=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4")
Suponha, agora, que a expressão seja verdadeira para Sn. Isto é:
^{2^n}+(2-\sqrt{3})^{2^n} "\small S_n=(2+\sqrt{3})^{2^n}+(2-\sqrt{3})^{2^n}")
Para S(n+1), teríamos pelo termo geral:
^{2^n}+(2-\sqrt{3})^{2^n})^2 -2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}+2.((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}))^{2^n}-2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}+2.(1)^{2^n}-2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}} "\small \\ S_{n+1}=((2+\sqrt{3})^{2^n}+(2-\sqrt{3})^{2^n})^2 -2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}+2.((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}))^{2^n}-2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}+2.(1)^{2^n}-2 \\ S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}")
Mas pela expressão o resultado de cara seria o mesmo:
^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}} "\small S_{n+1}=(2+\sqrt{3})^{2^{n+1}}+(2-\sqrt{3})^{2^{n+1}}")
Se a expressão vale para n = 0 e ela ser válida para n implica em sua veracidade para n+1, pelo Princípio da Indução Finita ela é válida para todo natural n.
CqD
Suponha, agora, que a expressão seja verdadeira para Sn. Isto é:
Para S(n+1), teríamos pelo termo geral:
Mas pela expressão o resultado de cara seria o mesmo:
Se a expressão vale para n = 0 e ela ser válida para n implica em sua veracidade para n+1, pelo Princípio da Indução Finita ela é válida para todo natural n.
CqD
Robson Jr.- Fera
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